Activitats

Nombre d'enquestes d'una investigació

L’objectiu d’aquesta activitat és treballar el concepte de nivell de confiança per calcular el nombre d’enquestes en una investigació.

Es vol fer un estudi mitjançant enquestes i no es disposa d’estudis previs que permetin conèixer el grau de dispersió de les dades. L’error de mostreig que l’investigador està disposat a assumir és del 5%. Comenteu quina és la quantitat d’entrevistes que cal realitzar en els casos següents:

  1. La població és de 2.000 individus i es vol utilitzar un marge de confiança del 95,5%.
  2. La població és infinita i el marge de confiança que es vol fer servir és del 68%.

Com que l’estudi està basat en enquestes, es tracta de calcular la mida de la mostra quan es vol estimar una proporció.

La nomenclatura utilitzada és la següent:

  • n = mida de la mostra
  • N = mida de la població
  • P = dispersió
  • Q = 1 - P
  • e = error de mostreig

1. En aquest cas la població és finita i el marge de confiança del 95,5%, per tant, la fórmula que s’ha d’utilitzar és:

Com que no es coneix el grau de dispersió de les dades, es considerarà que aquesta és màxima, per tant, P = Q = 0,5.

S’haurien de realitzar 334 entrevistes.


2. Si la població és infinita i el marge del 68% cal utilitzar la fórmula següent:

S’haurien de realitzar 100 entrevistes.

Estudi per determinar el preu de llançament d'un producte

L’objectiu d’aquesta activitat és treballar el concepte de grandària d’una mostra segons els requeriments d’un client.

Una empresa vol llançar un perfum nou al mercat i estudia el preu del producte tenint en compte el d’altres marques competidores de qualitat similar. Per obtenir aquesta dada vol elaborar un estudi de mercat consistent a veure el preu al qual es venen aquestes marques en una mostra representativa d’un total de 1.560 establiments, assumint un marge d’error màxim de 5 euros i un interval de confiança del 99,7%. Mitjançant un estudi realitzat prèviament se sap que la variació dels preus respecte a la mitjana en els diferents punts de distribució és de 15 euros.

Calculeu la mida de la mostra que seria necessària per obtenir el preu mitjà del producte.

La fórmula que cal fer servir per obtenir la mostra necessària i estimar una mitjana amb un 99,7% d’interval de confiança és:

La població de referència sobre la qual s’ha d’extreure la mostra és:

La variabilitat del preu:

L’error és:

i substituint totes aquestes dades a la fórmula s’obté:

La mostra és de 77 establiments.

Mida de la mostra per a una proporció (població finita)

L’objectiu de l’activitat és calcular la mida de la mostra per a una proporció quan es tracta d’una població finita.

Calculeu la mida de la mostra necessària per estimar el percentatge de llars que disposen de televisó per satèl·lit en un barri de Girona que té un cens de 150 llars, amb un error màxim del 5% i per als 3 nivell de confiança: 68%, 95,5% i 99,7%.

La nomenclatura utilitzada és la següent:

  • n = mida de la mostra
  • N = mida de la població
  • P = dispersió
  • Q = 1 - P
  • e = error de mostreig
Nivell de confiança Càlculs Resultat
68% 60 llars
95,5% 109 llars
99,7% 129 llars

Mida de la mostra per a una proporció (població infinita)

L’objectiu d’aquesta activitat és calcular la mida de la mostra per a una proporció quan es tracta d’una població infinita.

Calculeu la mida de la mostra necessària per estimar el percentatge de llars de Catalunya que disposen de televisió per satèl·lit, amb un error màxim del 5% i per als 3 nivell de confiança: 68%, 95,5% i 99,7%.

Hem de suposar que a Catalunya hi ha més de 100.000 llars, per tant, la població és infinita.

Nivell de confiança Càlculs Resultat
68% 100 llars
95,5% 400 llars
99,7% 900 llars

Mida de la mida de la mostra per a una mitjana (població finita)

L’objectiu de l’activitat serà calcular la mida de la mostra per a l’estimació d’una mitjana quan es tracta d’una població finita.

Es vol estimar la qualificació mitjana de primer curs dels estudiants d’una universitat amb 1.500 alumnes.

Prèviament s’ha fet un estudi amb una mostra de 50 alumnes i s’ha estimat una desviació típica de 6 punts.

Calculeu la mida de la mostra necessària si es pretén que l’error en l’estimació no superi els 0,35 punts i per als 3 nivells de confiança: 68%, 95,5% i 99,7%.

La nomenclatura utilitzada és la següent:

  • n = mida de la mostra
  • N = mida de la població
  • σ = desviació típica
  • e = error de mostreig
Nivell de confiança Càlculs Resultat
68% 246 estudiants
95,5% 659 estudiants
99,7% 957 estudiants

Mida de la mostra per a una mitjana (població infinita)

L’objectiu de l’activitat serà calcular la mida de la mostra per a l’estimació d’una mitjana quan es tracta d’una població infinita.

Es vol estimar la qualificació mitjana de primer curs dels estudiants de totes les universitats de Catalunya.

Prèviament s’ha fet un estudi amb una mostra de 50 alumnes i s’ha estimat una desviació típica de 6 punts.

Calculeu la mida de la mostra necessària si es pretén que l’error en l’estimació no superi els 0,35 punts i per als 3 nivells de confiança: 68%, 95,5% i 99,7%.

La nomenclatura utilitzada és la següent:

  • n = mida de la mostra
  • N = mida de la població
  • σ = desviació típica
  • e = error de mostreig
Nivell de confiança Càlculs Resultat
68% 294 estudiants
95,5% 2.351 estudiants
99,7% 2.645 estudiants

Càlcul de l'error de mostreig per a un atribut

Una companyia d’assegurances ha seleccionat una mostra de 36 individus sobre una població infinita, per calcular la proporció de persones que té una assegurança de l’automòbil a tot risc.

La proporció estimada és 0,4.

Calculeu l’error de mostreig per a un nivell de confiança del 68% i del 95,5%.

S’ha d’utilitzar la fórmula de l’error de mostreig per a un atribut i per a poblacions infinites.

Per al nivell de confiança del 68%:

Per al nivell de confiança del 95,5%:

Tipus de mostreig

L’objectiu d’aquesta activitat és treballar els diferents tipus de mostreig.

Es vol fer un estudi sobre l’ús d’Internet en un barri de la ciutat de Barcelona. Volem extreure una mostra de 150 llars. Digueu quin tipus de mostreig posaríeu en pràctica i com el faríeu en cadascun dels casos següents:

  1. Si tenim una llista de totes les llars d’aquest barri on s’indica el nivell adquisitiu de cada llar: baix, mitjà i alt.
  2. Si tenim un mapa del barri de la ciutat separat per 15 zones geogràfiques.
  3. Si tenim la informació següent del barri:
Taula: Tipus de llar enfront de l’edat mitjana de cada llar
Tipus de llar <25 anys De 25 a 40 anys De 40 a 60 anys >65 anys
Família amb fills 5 50 40 35
Família sense fills 15 26 19 7
Estudiants 30 10 0 0
Altres 12 15 18 23

1. En aquest cas es faria un mostreig estratificat on els estrats serien: llars amb nivell adquisitiu alt, llars amb nivell adquisitiu mitjà i llars amb nivell adquisitiu baix. Per agafar una mostra de 150 llars, es faria proporcionalment al nombre de llars de cada estrat. Per exemple, si tenim un 10% de llars amb nivell adquisitiu alt, un 60% amb nivell adquisitiu mitjà i un 30% amb nivell adquisitiu baix, la mostra es triaria de tal manera que hi hagués 150 · 0,1 = 15 llars amb nivell adquisitiu alt, 150 · 0,6 = 90 llars amb nivell adquisitiu mitjà i 150 · 0,3 = 45 llars amb nivell adquisitiu baix. La mostra dins de cada estrat es podria fer amb mostreig aleatori ja que disposem d’un llistat de tots els barris.

2. En aquest cas, faríem un mostreig per conglomerats. Primer de tot, triaríem a l’atzar unes quantes zones geogràfiques de les 15; posem per exemple 5. Després escolliríem dins de cadascuna d’aquestes 5 zones una mostra de 150 llars proporcionalment als habitants que viuen en cadascuna de les zones.

3. En aquest cas, faríem un mostreig per quotes. La suma de les llars val 305. Trobem quants elements de la mostra escolliríem fent quotes per edat mitjana de cada llar i per tipus de llar fent un arrodoniment:

Taula: Tipus de llar enfront de l’edat mitjana de cada llar
Tipus de llar <25 anys De 25 a 40 anys De 40 a 60 anys >65 anys
Família amb fills
Família sense fills
Estudiants 0 0
Altres
Total 31 50 38 31

La suma de tots els elements dóna 150 (31+50+38+31), que és la mida de la mostra.

Determinació de la mostra segons la tècnica de mostreig

L’objectiu d’aquesta activitat és treballar la mida de la mostra segons la tècnica de mostreig emprada.

Volem saber el nombre d’hores que miren la televisió els 1.000 estudiants de la Facultat d’Economia d’una universitat a partir d’una mostra de 100 estudiants.

  1. Quina tècnica de mostreig creieu que és millor?
  2. Escolliu una mostra estratificada per estrats d’edat sabent que entre 18 i 19 anys hi ha 500 estudiants, entre 20 i 21 anys hi ha 300 estudiants i entre 22 i 23 anys n’hi ha 200.

1. És aconsellable un mostreig estratificat ja que els gustos televisius canvien segons l’edat i, fins i tot, segons el sexe.

2. Els càlculs que faríem són els següents:

La mostra estaria formada per 50 estudiants entre 18 i 19 anys, 30 estudiants entre 20 i 21 anys, i 20 estudiants entre 22 i 23 anys.

Mida de la mostra segons la tècnica de mostreig

L’objectiu d’aquesta activitat és treballar la mida de la mostra segons la tècnica de mostreig emprada.

Es vol realitzar una enquesta socioeconòmica a la població activa d’una ciutat. L’últim cens proporciona les dades següents:

Sexe Edat Sector d’activitat
Homes: 48% 16-24 anys: 14% Directius i propietaris: 16%
Dones: 52% 25-44 anys: 37% Empleats: 54%
45-46 anys: 35% Treballadors independents: 21%
65 anys o més: 14% Funcionaris: 9%
  1. Quina tècnica de mostreig creieu que és millor?
  2. Es vol preguntar a 5.000 persones i disposem de 10 enquestadors. Utilitzant la tècnica de mostreig que heu considerat més apropiada, expliqueu com hauran de fer la tasca els enquestadors.

1. Farem servir un mostreig per quotes, que consisteix a imposar a la mostra restriccions sobre certes quotes, és a dir, repartint la mostra segons uns criteris.

2. Cada enquestador pregunta a 500 persones. D’aquestes 500 persones:

  • Hauran de ser 500·0,48 = 240 homes i 500·0,52 = 260 dones.
  • A més:
    • 500·0,14 = 70 persones seran de 16 a 24 anys d’edat
    • 500·0,37 = 185 persones seran de 25 a 44 anys d’edat
    • 500·0,35 = 175 persones seran de 45 a 64 anys d’edat
    • 500·0,14 = 70 persones seran de més de 65 anys d’edat
  • I que:
    • 500·0,16 = 80 seran directius
    • 500·0,54 = 270 seran empleats
    • 500·0,21 = 105 seran treballadors independents
    • 500·0,09 = 45 seran funcionaris

Anar a la pàgina següent:
Exercicis d'autoavaluació