Arrels quadrades en C

Icona iDevice Tota equació de 2n grau en C té solució, i... no cal fer més ampliacions!

Ara us mostrarem que

Qualsevol nombre complex té dues arrels quadrades

Si el complex és Z = a+bi, amb a i b reals, es tractarà de comprovar que existeix algun complex W = x+yi satisfent la condició W2 = Z; dit d'una altra manera, per demostrar l'enunciat,

hem de comprovar que el sistema (x+yi)2 = a+bi, d'incògnites x,y, sempre té solució


Com podeu comprovar pas a pas en l'escena dreta, el sistema resultant té solució: a l'escena es resol el cas particular a+bi = 4+3i, però el mètode és aplicable sense restriccions per a qualsevol altre complex.

Les conclusions són clares:
  1. En el conjunt C, existeix l'arrel quadrada en tots els casos.
  2. En el conjunt C, tota equació de 2n grau té solució. (aquesta conclusió és evident, si teniu en compte que la solució depèn de l'arrel quadrada que apareix a la fíormula de l'equació de 2n grau, i aquesta arrel, com hem dit, sempre existeix.)
 


No cal cap ampliació del conjunt C dels nombres complexos !

Com hem dit, els nombres complexos van ésser inventats per trobar solucions a equacions polinòmiques de coeficients reals: el nombre i el vam definir precisament, per construcció, com una arrel de l'equació x2 + 1. Podríeu ara estar pensant en la possibilitat que en C n'hi hagués alguna equació de grau 3, o més, que no tingués solució i que, per tant, fos necessària un a ampliació de C (intentant trobar generalitzacions de C, Hamilton va descobrir en 1843 els cuaternions, però aquests no compleixen la propietat commutativa.).

El teorema fonamental de l'àlgebra, la primera demostracció completa del qual se li atribueix a Gauss, al voltant de 1850, estableix que qualsevol equació polinòmica en C té solució dins del conjunt C. Aquesta propietat significa que "no podem anar més enllà de C cercant solucions d'equacions polinòmiques", què és l'operació algebraica per excelència, és a dir, amb el conjunt C s'acaben les ampliacions numèriques; els matemàtics expressen aquest fet dient que "el cos dels nombres complexos és algebraicament tancat".

Si voleu llegir una mica d'història sobre el teorema fonamental de l'àlgebra, cliqueu aquí.


Icona iDevice Practiqueu el càlcul d'arrels quadrades

Observeu com resolem l'equació de 2n grau i coefients complexos x2-2x-3-3i = 0.

Ara, heu d'emplenar els forats que indiquem a continuació:

Nombre complex Arrels quadrades   Equació de 2n grau Solucions
Z = -2i
,
  x2+2(i-1)·x-(1+2i) = 0
,
Z = -21+20i
,
  x2+5i·x+14 = 0 ,
Z = 5-12i
,
  x2-4x+(7+4i) = 0
,
  

« Anterior | Següent »

Paco González (2008)
Institut Obert
de Catalunya