De R a C, i final!

Icona iDevice Comencem amb una activitat !
Observa les equacions següents i l'escena de la dreta. Per esbrinar quantes solucions reals té cada equació, has de posar en l'escena el valor dels tres coeficients, a, b i c i, a la vista de la gràfica, esbrinar si l'equació tindrà 2 solucions, 1 solució o 0 solucions. Així doncs, has d'indicar 2, 1 o 0 en els forats.
Equació Quàntes solucions?

1. x2 - 3 = 0
 1.
 
2. 2x2 - 4x + 1 = 0 2.
 
3. 4x2 + 7 = 0 3.
 
4. x2 - 3x + 2 = 0 4.
 
5. x2 + 4x + 4 =0 5.
 
6. x2 - x + 1 =0 6.
 
  

Icona iDevice Els nombres complexos i la seva representació gràfica

Ja hem dit que hi ha equacions de 2n grau sense solució en R. L'equació x2+1 = 0 n'és una d'elles:

x2+1 = 0 -> x2=-1 -> x = ±√-1

Entre els nombres reals no està √-1. Doncs, bé, per construir el conjunt, C, dels nombres complexos utilitzarem el símbol √-1:

Simbolitzarem amb la lletra i el símbol √-1 i l'anomenarem unitat imaginària
Així doncs, les solucions de l'equació x2+1=0 són x = i i x = -i

Òbviament, hem de trobar sentit al símbol i per tal que el que fem sigui més que un simple joc. Tot quedarà aclarit qAixí doncs, les solucions uan vegem que els nombres complexos representen vectors en el pla i que constitueixen una ampliació del conjunt R que respecta les operacions entre nombres reals. Començarem per la definició de nombre complex:

Un nombre complex és una expressió del tipus a+bi (a i b reals), amb la condició d'igualtat següent:
a+bi = c+di si, i només si, a=c i b=d

  • La forma a+bi s'anomena forma binòmica
  • Els complexos a+0i s'anomenen complexos reals
  • Els del tipus 0+bi s'anomenen imaginaris purs
  • Els complexos a+bi i a-bi es diuen conjugats
  • Els complexos a+bi i -a-bi es diuen oposats.
En l'escena dreta veureu que tot complex es representa per un vector; el seu extrem (punt vermell) s'anomena afix. Si arrossegueu l'afix, veureu a cada posició el valor del complex. Noteu que la part real és allò que coneixeu per "component x", i la part imaginària és la component y.

Fixeu-vos també en els complexos sobre l'eix X (eix real) i en els situats a l'eix Y (eix imaginari).

 

NOTA: La diferència entre a+bi i una expressió polinòmica a+bx és que la lletra i compleix i 2=-1, mentre la x representa una lletra sense cap significat numèric. L'analogia s'estén a la forma d'operar, ja què, com veurem, els complexos se sumen i multipliquen com si fossin polinomis. Quan hagueu estudiat aquestes operacions, veureu que totes les equacions de 2n grau en C tenen solució.


Icona iDevice Ja podem resoldre totes les equacions de 2n grau i coeficients reals!
Observeu que si amb la lletra i poguéssim operar sota el signe de l'arrel quadrada de igual forma que amb els nombres reals, seria molt fàcil resoldre les equacions del tipus ax2+bx+c=0 (a, b i c reals). Hi posarem l'exemple de l'equació x2-2x + 10 = 0

Exercicis

Ara, trobeu les solucions de les següents equacions i anoteu-les en els requadres de la dreta (poseu-les en la forma a+bi o a-bi, sense espais al mig, ni parèntesis, i poseu sempre en primer lloc la que tingui part imaginària positiva). A veure si en traieu una conclusió i sabeu amb quina paraula s'ha de completar l'enunciat final.


Equació Solucions
1. x2 -10x + 29 = 0
 ,
2. x2+ 6x + 10 = 0 ,
3. x2 - 8x + 25 = 0
,
4. x2+10x + 34 = 0
,
5. x2 - 2x + 2 = 0
,

ENUNCIAT (Completeu-lo): Si una equació de 2n grau té els seus coeficients reals i no té solució en R, aleshores té dues solucions que són complexos .

  

« Anterior | Següent »

Paco González (2008)
Institut Obert
de Catalunya