De Z a Q

Icona iDevice Creació dels nombres racionals
Buscant la forma de què les equacions n·x = m (amb n≠0) tinguin solució, es crea el conjunt Q dels nombres racionals.
La idea és similar a la d'ampliar N, però utilitzant la divisió: "Com que la solució, quan existeix, és igual a la divisió entera m: n, s'afegeixen a Z totes les divisions imaginables entre enters; aquestes divisions es representen per m/n, o i s'anomenen fraccions (m és diu numerador, i n, denominador). Moltes seran equivalents, perquè donen el mateix resultat (per exemple, 6/2 i 18/9); concretament:
= si, només si,
Un nombre racional és defineix com el conjunt de totes les fraccions equivalents a una fixa (exemples 1 i 2)

Exemple 1
Exemple 2
El racional 5 el formen les fraccions en què el resultat de la divisió és 5:
5 = {5/1, 10/2, 15/3, ...}
  El racional 1'5 és el conjunt de faccions equivalents a 3/2 (dividint 3:2 surt 1'5):
1'5 = {3/2, 6/4, 9/6, ...}

Altra forma de representar els nombres racionals s'obté fent la divisió amb decimals del numerador pel denominador. Així, es comprova que només surten 3 tipus de nombres racionals:

Racionals enters
Decimals finits
Decimals infinits periòdics
Aquells en què m : n surt enter (s'identifiquen amb els enters)   Aquells en els que només surt una quantitat finita de decimals   Aquells on surten infinits decimals: S'hi arriba sempre, però, a un grup de xifres que es repeteix; per això, s'anomenen periòdics.

Així, Q és unió d'enters, decimals finits i periòdics:
Q = Z DF DP.

Com veiem en la figura, també es pot representar en una recta. És, doncs, una ampliació dels enters (hauríem de provar que la suma i el producte en Q respecten la suma i el producte de Z, però indicarem només les fórmules):


SumaResta Producte Divisió

Òbviament, en el conjunt Q, tota equació del tipus n·x = m (m i n racionals, i n≠0) té solució: x = m/n


« Anterior | Següent »

Paco González (2008)
Institut Obert
de Catalunya