Quins nombres inventa el matemàtic perquè les equacions x+n=m tinguin solució? Es basa en la idea següent:

"Si utilitzo els naturals per avançar cap a la dreta, per què no per avançar cap a l'esquerra?" No hauria d'haver-hi problema i no tindria res d'absurd, ja què a la vida hi ha moltes situacions en les que s'avança cap a l'esquerra, cap a baix, etc. El problema sorgiria si haguéssim d'utilitzar-los alhora per avançar en els dos sentits. El 2, per exemple, no pot servir en un mateix context per anar a la dreta i a l'esquerra. Llavors, què fem?

ÉS FÀCIL: Hi posem un signe (+) a cada nombre quan expressi avanç natural i un altre (-) quan representi avançar a l'esquerra.

{... -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, +1, +2, +3, +4, +5, +6, +7, ...}

Acabem d'inventar un conjunt de nombres que amplien el conjunt N, ja què els de signe + (que anomenarem positius, per distingir-los dels altres, què anomenarem negatius) els podríem identificar amb els naturals. En el conjunt nou sembla que x+n=m sempre té solució:

Exemple 1		Exemple 2
x + 3 = 5 → Solució x=+2 (Posant-nos en el 3, arribem al 5 avançant 2 llocs)		x + 5 = 3 → Solució: x=-2, ja que posant-nos en el 5, arribarem al 3 retrocedim 2 posicions.

Però, de debò totes tenem solució? Hem pensat realment en totes? Què passa, per exemple, amb x+5 = 5? Està clar: Hem d'inventar un número per a NO avançar i NO retrocedir. A aquest número li direm zero (0) i el posarem al mig, entre els positius i els negatius.

RESUMINT: Hem ideat un conjunt de nombres (que anomenarem enters) que és una ampliació del conjunt N; l'anomenarem Z

Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...}

COMPTE, no hem acabat! Per estar segurs que Z és l'ampliació que necessitàvem, hauríem de fer 2 coses:

1. Definir una suma en Z que respecti la suma d'N :
   
   • Obtenim n+m, posant-nos a n i avançant m llocs, si m és positiu, i retrocedint si m és negatiu. Definim n+0=n.
2. Comprovar que en Z tota equació com x+n=m té solució (ara, però, n i m poden ser també negatius).
   • Podeu comprovar amb exemples que la solució és sempre x = m+(-n)

NOTA: En equacions com x+(-5)=0, la solució x és avançar 5 posicions (x=+5), però també serà -(-5). Per tant, -(-5)=+5.

---

En Z hi ha també un producte (suposem que el coneixeu). La qüestió és: I si agafem equacions com n·x = m ?
Noteu que unes tenen solució en Z (2x = 6 → x=3) i d'altres no (2x = 5 no té solució entera). Per tant,

Cal una ampliació del conjunt Z que respecti la suma i el producte i on n·x = m tingui solució