De Q a R
Afegint els irracionals, s'omple la recta
Creant els nombres racionals, es va obtenir un conjunt on tota equació de 1r grau té solució, ja què x+n=m i n·x=m tenen ambdues solució en Q. Però, les equacions més senzilles de 2n grau no sempre tenen solució; així, x2=9 té solució x=3, però x2=2 no té solució en Q (des del temps de Pitàgores (segle V aC) se sap que cap fracció elevada al quadrat no pot donar 2).
D'altra banda, com es veu en les escenes següents, a la recta hi ha infinits punts que no representen cap racional:
|
|
Durant molts segles, els matemàtics no van ser capaços d'estructurar un conjunt de nombres on totes les equacions del tipus x2= n (n racional positiu) tinguessin solució. En el segle XIX, es va donar cos al conjunt R dels nombres reals, afegint a Q els nombres decimals infinits no periòdics (nombres irracionals). Adjuntant a Q els nombres irraccionals, s'aconsegueix el conjunt, R, que té dues propietats importants:
-
Qualsevol nombre real positiu, r, té arrel quadrada, cúbica, quarta, ...(arrel de qualsevol ordre)
-
Els nombres reals omplen tota una recta, és a dir, fixada una unitat de mesura, tot punt de la recta correspon a un nombre real i a l'inrevés (per això, a una recta on se suposen representats els nombres reals se l'anomena recta real).
En el conjunt R, però, hi ha equacions de segon grau sense solució (x2+1=0 no en té, perquè no existeix l'arrel quadrada de -1). És per això que els matemàtics es van dedicar a estructurar un conjunt on tota equació de 2n grau tingués solució. El resultat va ser el conjunt, C, dels nombres complexos.
Vegem què heu assimilat fins ara!
A veure si has assimilat fins ara les lectures anteriors. Llegeix els paràgrafs inferiors i emplena els forats:
El conjunt , els elements del qual s'anomenen , és el conjunt {...-3, -2,-1, , 1, 2, 3,...} i és una ampliació del conjunt dels nombres . Es va crear el conjunt Z perquè no totes les equacions de la forma x+n = m tenen solució dins del conjunt . En aquest context, ampliació vol dir que Z conté tots el nombres i que, a més, en Z hi ha definida una operació que respecta la de nombres naturals.
El conjunt resulta insuficient per contenir les de les equacions del tipus x·n = m. És per això que es va crear el conjunt dels nombres . El conjunt Q, però, resulta insuficient quan es tracta d'obtenir quadrades (a l'antiga Grècia, per exemple, ja se sabia que cap nombre elevat al pot donar resultat igual a 2 ). A més, existeixen infinits sobre una que no corresponen a nombres ; per resoldre aquests dos problemes, apareix el conjunt dels nombres , el qual es forma adjuntant a els decimals infinits no periòdics, conguts amb el nom de nombres . El problema amb el conjunt , però, és que tot i que qualsevol real té arrel real, hi ha equacions de grau que no tenen solució. Aquest problema va ser resolt amb la creació del conjunt, , dels nombres .
 |
Paco González (2008)
Institut Obert de Catalunya |