Operacions en forma polar

Icono IDevice Producte i divisó en forma polar

En primer lloc, heu de saber que la forma polar no s'adapta bé a les operacions suma i resta de nombres complexos, és a dir, no existeix cap fórmula que permeti calcular fàcilment sumes i restes de complexos, si aquests ens venen donats en forma polar. Les sumes i les restes es fan molt fàcilment quan els complexos estan en forma binòmica.

En canvi, com veurem de seguida, quan dos nombres complexos ens venen donats en forma polar, resulta senzillíssim multiplicar-los i dividir-los, perquè el producte de dos complexos té per mòdul el producte dels mòduls i, per argument, la suma dels arguments i, anàlogament, el quocient té per mòdul el quocient dels mòduls i, per argument, la resta dels arguments del numerador i del denominador.

 

La multiplicació en forma polar  

Regla del producte:

 
Tenint en compte les fórmules del cosinus i del sinus d'una suma, la regla és fàcil d'entendre (cada color es correspon amb el valor substituït):
 

Exemples

1. Si vulguéssim expressar en forma binòmica el producte 530º·245º, el tindríem fàcil

530º·245º = (5·2)30º+45º = 1075º = 10·(cos 75º + i·sin 75º) = 10·0'258 + 10·0'966·i = 2'58 + 9'66i

 

La divisió en forma polar  

Regla de la divisió:

 
Fent la divisió en forma binòmica, i utilitzant les fórmules del cosinus i el sinus d'una resta, la regla és fàcil d'entendre:
 


Exemples

1. Per expressar, per exemple, en forma binòmica la divisió 530º / 245º, podem procedir així:

530º/245º = (5/2)30º-45º = 2'5-15º = 2'5345º = 2'5·(cos 345º + i·sin 345º) = 2'5·0'839 + 2'5·(-0'543)·i = 2'09 -1'35i

Conseqüència de la fórmula del producte és l'anomenada fórmula de Moivre:


Icono de iDevice Practiqueu les fórmules del producte i la divisió
A veure si heu assimilat bé les fórmules de les operacions: Llegiu els paràgrafs inferiors i empleneu els forats.

(Recordeu: No hi poseu espais;com a coma decimal utilitzeu el punt i, si n'hi ha més d'1 xifra decimal, talleu en la segona (així, 7.38 en compte de 7'386), i per posar la forma polar del resultat, poseu el mòdul, seguit d'una coma i, després, l'argument. Si és un resultat en forma binòmica, poseu-ne primer la part real, després la part imaginària amb el signe, i finalment, la i (així, 5.1-7.32i, en compte de 5.1+-7.325i); finalment, si una d'elles val, 0, no l'heu d'escriure (així, en compte de 0+41i hauríeu de posar 41i; en compte de -32+0i, s'haurà de posar -32)

1. El resultat en forma polar de 13150º ·330º ·280º és:
2. El resultat en forma binòmica de 123150º /360º és:
3. El resultat en forma polar, i argument en graus, de les operacions 5.1105º·8-10º/240º és:
4. El resultat en forma binòmica de les operacions (1650º /375º) - 245º és:
5.
 El resultat en forma binòmica de desenvolupar la potència (cos 30º + i·sin 30º)6 és:

 

  

« Anterior | Siguiente »

Paco González (2008)
Institut Obert
de Catalunya