Mòdul i argument

Icono IDevice Mòdul i argument d'un nombre complex

Mòdul de a+bi

  • El mòdul del complex a+bi és √(a2+b2). S'escriu |a+bi| per indicar-lo.
És, doncs, la longitud del vector representatiu del complex.

Argument de a+bi

  • arg( a+bi) és l'angle que forma el semieix real amb el vector (a,b) que representa el nombre complex. Sobre aquest angle, heu de tenir clar:
  1. És un angle amb signe (positiu si és de sentit contrari al moviment de les agulles dels rellotges). Pot ser, doncs, més gran de 360º i també menor que 0º.
  2. Aquest angle no té sentit si el nombre complex és 0+0i. És per axò que diem que el 0 és l'unic complex que no té argument.
(Escena de la dreta: Cliqueu en els controls del mòdul i de l'argument, per veure diferents situacions)
 

Exemples

1. 2.
3.

4.

Referint-nos als complexos z1, z2 i z3 la figura de la dreta:

5. Un argument de z1 és 90º, però també és argument 90º+360º = 450º

6. Un argument de z2 és 270º, però també ho és -90º

7. Un argument de z3 és 45º, però també ho és 45º-360º=-315º

Conclusions sobre l'argument d'un nombre complex

1. Si coneixem un argument d'un complex, podem obtenir-ne d'altres sumant-li o restant-li un múltiple de 360º
2. De tots els arguments d'un nombre complex, n'hi ha un situat entre 0 i 360º; aquest argument se sol anomenar argument principal.

Propietats bàsiques del mòdul

Si z=a+bi, i designem per z* el seu conjugat, z*=a-bi, és evident que z·z* = a2+b2. Per tant, |z| = √(z·z*). A partir d'aquest fet i de les propietats del conjugat, són de demostració immediata les següents propietats:

1. El mòdul d'un producte és igual que el producte dels mòduls dels factors: |z1·z2| = |z1|·|z2|

2. El mòdul d'un quocient és igual que quocient dels mòduls: |z1/z2| = |z1|/|·z2|

3. El mòdul d'una potència és igual a la mateixa potència del mòdul: |zn| = |z|n

4. COMPTE! En general, es compleix |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| i, normalment, no es compleix la igualtat.

Exemple: Com que |3+4i| = √(32+42) = √25 = 5, tenim que |(3+4i)3| = |3+4i|3 = 53 = 125


« Anterior | Siguiente »

Paco González (2008)
Institut Obert
de Catalunya