Càlculs financers bàsics

Quan disposem de diners normalment pensem en l’ús que els podem donar. Aquest pot ser gastar-los en béns de consum, estalviar-los o invertir-los.

En cas de gastar-los en consum, el que esperem és satisfer unes necessitats que tenim com a consumidors. En el segon cas, el que esperem és mantenir els diners i augmentar-los mitjançant l’interès rebut en l’estalvi o bé obtenint beneficis per l’inversió realitzada.

En el cas de les inversions, segons els tipus, tindrem la incertesa (risc) de si es recuperaran els diners invertits més l’interès o si recuperarem menys del que hem invertit, o bé tindrem el mateix passat el temps destinat a aquesta inversió.

Per saber valorar les inversions i els estalvis ens ajudarem dels instruments financers per tal de calcular aquestes operacions, que poden ser de capitalització simple o de capitalització composta.

A l’hora de realitzar una operació financera, aquesta es mesura amb un percentatge anomenat tipus d’interès.

Així, per exemple, si invertim 6.000 euros i passat un any s’obtenen 600 euros, per saber en tant per cent el benefici obtingut farem una simple regla de tres.

Si per 6.000 euros, passat un any, se n’obtenen 600, per cada 100 euros s’obtindran x euros.

Si 6.000 → 600

100 → x

Trobem el valor de la x:

Tenim que aquesta operació ha tingut un tipus d’interès del 10% de benefici: per cada 100 euros invertits ens n’ha donat 10. Si ho volem expressar en tant per u, direm que aquesta operació ens ha donat un 0,1 per 1.

Moltes vegades, quan es vulgui dur a terme una despesa o inversió i no es tinguin els recursos necessaris, s’haurà de recórrer a qui tingui el capital i estigui disposat a prestar-lo. En aquests casos, és normal pagar uns interessos que es calculen mitjançant l’aplicació del tipus d’interès.

Els càlculs es fan d’acord amb una regla concreta que s’anomena llei financera.

Les lleis financeres aplicades normalment són la de capitalització simple i la de capitalització composta.

Per aplicar aquesta llei cal tenir una sèrie de dades prèvies que influeixen en el càlcul:

• El temps, que representarem mitjançant una n.
• El tipus d’interès, que representarem amb i quan l’expressem en tant per u.
• El criteri de càlcul de l’interès, que inclou la llei financera aplicada al capital inicial.

D’aquí es dedueix que el valor d’un capital dependrà del següent:

• El moment de la valoració.
• El tipus aplicat en l’operació.
• La llei financera que s’apliqui.

La manera en què s’han calculat les quantitats és la llei financera aplicada en aquest cas en concret.

Les característiques principals són:

• L’intercanvi no es fa en el mateix moment; hi ha dates diferents, és a dir, no és simultani.
• S’ha aplicat una llei financera.
• La prestació i la contraprestació són equivalents des d’un punt de vista financer, tant el préstec com la recepció de diners es consideren operacions financeres equivalents.

En qualsevol operació financera s’han de tenir en compte els elements que apareixen en la taula.

La classificació de les operacions financeres, com la de qualsevol altre fenomen, es fa amb la finalitat de conèixer-ne millor la naturalesa. L’ordenació es fa segons diversos criteris (vegeu la taula).

Qualsevol operació financera, de capitalització o de descompte, està subjecta a una determinada llei financera que s’anomena règim de capitalització.

Hi ha dos tipus de règims de capitalització:

• Simple. Es caracteritza perquè els interessos que es generen en cada període de temps no s’acumulen al capital per al càlcul dels interessos corresponents al període següent. Generalment s’utilitza en operacions financeres a curt termini.
• Compost. Es caracteritza perquè els interessos que es generen en cada període s’acumulen al capital anterior per al càlcul dels interessos corresponents al període següent. Generalment s’utilitza en operacions financeres a llarg termini, és a dir, superiors a l’any.

Per calcular l’interès simple d’una operació financera, segons la llei financera que apliquem, parlarem de capitalització o d’actualització.

L’interès simple s’aplica en una operació financera quan per calcular els interessos de cada període només es té en compte el capital inicial.

Podem veure el funcionament segons la figura.

Els elements que intervenen en el càlcul són:

a) Capital inicial, serà l’invertit al principi de l’operació i el representem amb un C₀.

b) Durada de l’operació o nombre de períodes que dura l’operació (en aquests cas anys), que representem amb una n.

c) Tipus d’interès anual expressat en tant per u. Representa la quantitat de diners que s’obté per cada euro invertit. El representem amb una i.

d) Interessos d’un any. Com sempre es calculen sobre el capital inicial, el seu valor és C₀. El valor i serà igual per a tots els anys. Els representem amb una I.

e) Els interessos totals de l’operació: I_T = I + I + I + … = n I, els representem amb I_T.

f) El capital final de l’operació, l’inicial més els interessos, el representem amb una C_n.

Per saber l’import final d’una operació financera en capitalització simple passats n anys, amb un tant anual aplicat a l’operació de i, hem de seguir una sèrie de passos per deduir-ne l’expressió.

Primer, el capital final és el capital inicial més els interessos totals:

També sabem que els interessos totals equivalen a l’interès d’un període pel nombre de períodes:

I també sabem que l’interès d’un període és igual al capital inicial pel tant per u:

Si aquesta expressió, la substituïm en la segona expressió ens queda:

Ara en la primera expressió de totes substituïm I_T pel seu valor:

Ara traient factor comú tenim:

Aquesta expressió ens permet calcular el capital final en funció del capital inicial, coneguts el temps i el tipus.

A la figura podem veure com es representa el capital inicial i final.

Per saber el capital inicial d’una operació podem seguir dos camins a partir de l’expressió:

I aïllant C₀ tindrem:

O també podem trobar-lo tenint present que:

Moltes vegades es coneixen el capital inicial de l’operació i el capital final i el temps que ha durat l’operació, però es desconeix el tipus d’aquesta.

Per saber calcular el tipus d’interès podem fer els passos següents:

I tenint present que:

Aïllant i que és el que ens interessa:

Altres vegades coneixerem tots els elements però no el temps que ha durat l’operació.

En aquest cas, per calcular-lo partirem de l’expressió:

Aïllarem el terme que representa el temps, que és l’n:

La realitat financera ens mostra que moltes operacions financeres no es fan en períodes d’un any, sinó que es poden mesurar a partir de diverses varietats de períodes, fins i tot s’utilitzen diferents tipus d’any (civil o comercial) segons si es venen operacions o si es compren.

Els períodes de temps més freqüents són els que veiem en la taula.

Totes les expressions que utilitzem per calcular els elements de les operacions financeres en els punts anteriors es refereixen al temps i al tipus a l’any.

Si ara utilitzem períodes diferents, hem d’homogeneïtzar i trobar el tipus equivalent a l’anual per a períodes fraccionats de l’any.

El temps i el tipus d’interès sempre s’han de referir a la mateixa unitat de temps.

Perquè els tants siguin equivalents sobre un mateix capital inicial, l’interès produït per la relació entre el tipus d’interès anual i el d’un període fraccionat han de ser idèntics.

Tenim:

• i: tipus d’interès anual expressat en tant per u.
• i_m: tipus d’interès equivalent d’un període fraccionat.
• m: freqüència de fraccionament o nombre de vegades que i_m està inclòs en i, o també el nombre de vegades que el període de referència està inclòs en l’any.

Si partim del fet que els tipus han de ser equivalents podem igualar aquestes expressions:

C₀ (1 + n i) = C₀ (1 + nmi_(m))

Simplificant tenim:

ni = nmi_(m)

Tornant a simplificar:

i = mi_(m)

O també:

D’això es dedueix que i_m és un tant proporcional a i anual.

Quan una operació es refereixi a un període d’un any, n’hi haurà prou de dividir el tant anual entre el fraccionament m i utilitzar les fórmules deduïdes per períodes anuals.

En la figura podem veure gràficament com un interès i (anual) es pot fraccionar en períodes m (mesos).

Moltes vegades en les operacions financeres el temps està expressat entre dates concretes, d’un dia, d’un mes i any concret fins a una altra data d’un dia, d’un mes i any concret.

Per exemple, si invertim un capital el dia 24 fins al dia 28 de febrer, compta des del dia següent fins a l’últim en què està invertit el capital. En aquest cas tindrem quatre dies: els dies 25, 26, 27 i 28.

Hi ha diferents maneres de calcular els interessos, segons es pacti o segons quins siguin els tipus de productes financers vigents que es basen en l’any civil (365 dies) o en l’any comercial (360 dies).

• Segons l’any comercial tindrem:

• Segons l’any civil tindrem:

Comparant la diferència farem:

Fent operacions i traient factor comú tenim:

Substituint la segona part de l’equació pel seu valor tenim:

0 bé:

Comparació per quocient:

Trobant els valors tenim:

En la pràctica comercial, quan s’han de calcular molts capitals amb un mateix tipus d’interès i amb diferents terminis s’utilitzen mètodes de càlcul més ràpids.

Partim de l’expressió:

I_T = C₀ · n · i

Anomenem nombres comercials:

N = C₀ n

Anomenem divisor fix el quocient entre D = m / i.

Si aquests dos conceptes els substituïm a l’expressió del càlcul d’interessos tenim:

Les entitats bancàries remuneren els fons dipositats pels clients en els seus comptes bancaris periòdicament, d’acord amb el que s’hagi pactat en els contractes de cada tipus de compte.

La normativa vigent estableix que els tipus d’interès de les operacions actives i passives de les entitats bancàries seran els que lliurement es pactin.

El càlcul d’interessos de les imposicions a termini fix resulta senzill si s’aplica la fórmula de l’interès simple:

En què:

• I = interessos (euros)
• C₀ = capital inicial
• n = temps
• i = tipus d’interès (en tant per u)

El període de liquidació d’un compte és l’interval de temps que es pren per delimitar els abonaments, els càrrecs i els saldos que intervenen en el càlcul dels interessos.

El període de liquidació en els comptes corrents i d’estalvis sol ser semestral.

Els conceptes clau per a la liquidació d’interessos són:

• Data de l’operació. És el dia que es fa una operació, per exemple, el pagament del rebut de la llum.
• Data valor de l’operació. És el dia a partir del qual (incloent-hi aquest dia) l’operació es considera en ferm per al càlcul d’interessos. En les despeses sol ser el mateix dia de l’operació i, en els ingressos, el dia següent.
• Data valor de cada saldo. És la mateixa que la data valor que el produeix.
• Dies valor del saldo. És el nombre de dies que cada saldo es manté inalterat, reportant interessos. Aquest nombre de dies intervé directament en el càlcul d’interessos.

Hi ha unes normes de valoració de càrrecs i abonaments tant per a operacions passives com actives establertes pel Banc d’Espanya, amb la condició de “mínim per complir”.

Actualment el mercat bancari ofereix diferents varietats de rèdits per a comptes corrents i d’estalvi, interessos més alts si el saldo passa d’una certa quantitat, etc.

Les normes de valoració dels càrrecs i abonaments més freqüents d’una entitat bancària els podeu veure en la taula.

La valoració d’interessos és diària; es calculen els saldos diàriament, els saldos creditors són retribuïts a un tipus que està en funció dels tipus de mercat.

Els saldos deutors o descoberts reporten interessos a favor de l’entitat bancària, uns interessos molt superiors que arriben a multiplicar per tres o quatre els tipus del mercat.

La liquidació es fa tenint present el següent:

• Els mesos es computen pels seus dies naturals i l’any per 365 dies.
• El càlcul d’interessos utilitza la fórmula d’interès simple:

• S’aplica el mètode hamburguès, que consisteix a multiplicar el saldo pels dies valor de cada un dels saldos correlativament.
• Aquests nombres són els nombres comercials i es representen amb una N i es divideixen per 100 per ser més manejables.
• Se sumen els nombres comercials separadament per deutors i creditors.
• Posteriorment es divideixen entre el divisor fix respectiu.
• Es calcula la diferència entre interessos creditors i els deutors.
• S’abona o es carrega depenent de si és, respectivament, a favor del client o bé a favor de l’entitat bancària.

L’operativa dels comptes de crèdit és molt similar a la d’un compte corrent normal, però amb petits matisos.

En el seu càlcul per la liquidació s’utilitza el mètode hamburguès a partir dels saldos enregistrats en el compte per ordre cronològic.

Per aplicar la comissió de disponibilitat s’ha de calcular el saldo mitjà no disposat, i hi ha dos mètodes per fer-ho:

1. Calculant els números comercials dels saldos no disposats.

Saldo mitjà no disposat = ∑ números comercials no disposats / n on:

• n = període de temps dies
• N comercial = saldo n dies

Comissió de disponibilitat = % saldo mitjà no disposat

2. Calculant els números comercials dels saldos deutors.

• n = període de temps dies
• N comercial = saldo n dies

Comissió de disponibilitat = % saldo mitjà no disposat

Per a la liquidació d’un compte de crèdit també s’utilitza el mètode hamburguès i amb interessos no recíprocs. Per al càlcul són necessàries tres columnes de números comercials, com indica la taula.

Taula: Liquidació d’un compte de crèdit

Números comercials
Creditors	Deutors	Excedits
Saldo creditor dies	Saldo deutor dies	Saldo deure que superi el límit de crèdit

Per calcular els interessos s’haurien de calcular els tres tipus d’interès:

• Tipus d’interès creditor
• Tipus d’interès deutor
• Tipus d’interès excedit

Es calculen de la manera següent:

Per a la liquidació, s’ha d’utilitzar la fórmula següent:

Per a la liquidació d’un compte de crèdit s’utilitzen diferents formats. Farem servir el format de la taula per fer els exercicis.

És molt freqüent en la pràctica comercial que les empreses no disposin de diners en efectiu per finançar la seva activitat, i per aconseguir-los poden anar a un banc o institució financera, per canviar el dret de cobrar uns deutes (garanties) per diners. Després de la data de venciment d’aquest dret a cobrar (deute), el banc recupera els diners que va avançar.

El banc no deixa els diners pel total del deute sinó que es cobra una comissió i uns interessos. Aquesta operació és el que anomenem descompte.

El banc cobra interessos perquè entre la data de venciment de la lletra i la data de descompte representa que el banc o institució financera fa un avançament o préstec.

La comissió es cobra perquè se suposa que el banc té una sèrie de costos per poder formalitzar l’operació que repercuteix en el client.

Podeu veure aquesta operació en el gràfic de la figura.

Anomenarem N (nominal) el total de l’import presentat a descompte, D (descompte) el descompte total, i E (efectiu) l’efectiu rebut.

Les fórmules utilitzades són les següents:

També podem dir que el nominal (N) és el capital final C_n, i que l’efectiu (E) és el mateix que el capital inicial C₀, com podem veure en la figura i figura.

Tenim que:

D = C_n - C₀

C_n = C₀ + D

C₀ = C_n - D

Hem d’analitzar com es calcula l’import del descompte. Aquesta operació es fa de la mateixa manera en què es calculen els interessos en el càlcul de l’interès simple.

O bé quan tenim el temps expressat en diferents unitats de temps:

Els bancs sempre calculen l’import del descompte sobre el nominal (N), i no sobre l’efectiu (E).

Els bancs apliquen un criteri que és habitual en aquests tipus d’operacions.

El descompte comercial és el que normalment s’aplica en el món comercial.

Per calcular qualsevol de les variables que intervenen en l’operació del descompte comercial és suficient d’aïllar-la de l’expressió següent:

Per calcular el nominal tenint les dades de les altres variables utilitzarem l’expressió següent:

Hem de recordar que:

Per calcular el temps tenint les dades de les altres variables utilitzarem l’expressió següent:

Per calcular el tipus d’interès tenint les dades de les altres variables utilitzarem l’expressió següent:

Per calcular qualsevol de les variables que intervenen en l’operació del descompte racional és suficient d’aïllar-la de l’expressió següent:

Per calcular l’efectiu tenint les dades de les altres variables utilitzarem l’expressió següent:

Hem de recordar que:

Per calcular el temps de venciment de l’operació tenint les dades de les altres variables utilitzarem l’expressió següent:

Per calcular el tipus de l’operació tenint les dades de les altres variables utilitzarem l’expressió següent:

Generalment, en aquests tipus d’operacions financeres no es coneix el valor efectiu C₀, però sí el valor final C_n.

Per tant, en la pràctica, s’obté el descompte racional fent el càlcul sobre C_n.

Si:

Substituïm C₀ pel seu valor en la primera expressió.

Ara passarem la variable D a la primera part de l’expressió:

Traient factor comú D_r, tenim:

Aïllant la variable que ens interessa, D_r:

Compararem la relació que hi ha entre els dos tipus de descomptes tenint present diferents variables.

Tenim que:

a) Per a un mateix efectiu, nominal i temps, el tipus de descompte és superior en el descompte racional que en el comercial.

b) Donat un nominal, temps i tipus de descompte, el descompte comercial és superior al descompte racional.

Per trobar els tipus de descompte comercial (i_c) i racional (i_r) que fan que els descomptes siguin equivalents, hem de trobar una expressió per calcular-ho.

En principi, per ser equivalents:

Substituïm pel seu valor:

Igualant les dues expressions, tindrem:

Aïllant i_c tindrem:

Si de l’expressió anterior aïllem i_r:

Operant:

Traient i_r com a factor comú:

Una vegada que l’empresa ha generat o rebut els documents de cobrament pertinents contra els seus clients procedeix a la seva presentació davant l’entitat financera per al seu descompte, presentant un sol document de cobrament o agrupant-los en el que s’anomena una remesa.

Quan la remesa s’ha presentat a l’entitat financera i aquesta ha admès els efectes que la conformen, llavors l’entitat financera procedeix en aquest moment (no al seu venciment) a la liquidació dels interessos i despeses originades per cada un dels efectes que la integren abonant l’efectiu. Aquest efectiu és el resultant de restar al nominal tots els costos (interessos, comissions i altres despeses).

Els interessos es calculen en funció del nominal descomptat, el temps que s’anticipa al seu venciment i el tipus d’interès aplicat per l’entitat financera.

De vegades, els efectes no es descompten d’un en un, sinó que es va al banc amb un conjunt, una remesa d’efectes agrupats per períodes temporals, per descomptar-los conjuntament en les mateixes condicions generals.

El document que es genera s’anomena factura de negociació. Podeu veure la factura de negociació de l’efecte de l’empresa Moblerones en la figura.

L’operatòria és similar a la d’un efecte sol. S’ha de generar l’efectiu de la remesa procedent del nominal i del tipus de descompte aplicat. Les despeses van apart. L’import líquid és el nominal de tots els efectes menys les despeses.

El valor d’un capital depèn del moment en què es valori; si l’estimem en el moment actual rep el nom de valor actual i si el considerem al final de l’operació s’anomena valor final.

Un mateix capital C₀ valorat en el moment 0 té un valor diferent que en el moment 1, 2, 3… n (vegeu la figura).

Els capitals que tenen un valor numèric diferent són els mateixos en diferents moments de temps, és a dir, són equivalents des del punt de vista financer.

Per exemple, tenim un capital de 1.000 euros al 10%: com podem veure en la figura, en el moment 1 en tindrem 1.100, en el moment 2, 1.200, etc.

Com podem veure, d’aquí a quatre anys un capital de 1.400 euros és equivalent a un de 1.000 en el moment actual, quan el valor actual del primer és de 1.000 euros.

En la pràctica financera, el càlcul per trobar el valor actual d’un capital es fa a partir del descompte comercial, en el cas dels 1.000 euros al 10% tindríem la simulació següent:

Això vol dir que 1.111,11 euros al final d’un any és equivalent a 1.000 euros en el moment 0; 1.250 euros al final de dos anys és equivalent que 1.000 euros en el moment 0; i així successivament.

Veiem que, des del punt de vista del descompte, els valors són més elevats. En la realitat comercial, el valor actual d’un capital futur es calcula en règim de descompte.

Quan les operacions d’actualitzacions de capitals es fan amb descompte comercial a interès simple, es fan amb durada inferior a l’any.

Quan hem de trobar el venciment en què diferents capitals a substituir són equivalents diem que estem trobant el venciment comú.

Sabem que:

Aïllant la n per saber el venciment, tenim:

Parlem de venciment mitjà quan la suma dels nominals dels capitals a substituir és igual al nominal del capital que substitueix. En aquest cas, els càlculs són més reduïts atès que:

C_n - (C₁ + C₂ + C₃) = 0

Substituint l’expressió anterior en aquesta:

Arribem a: