Capitalització i actualització composta

El que primer heu de fer per poder aplicar la capitalització composta és determinar-ne els components i aplicar la llei financera de capitalització composta moment a moment en el temps.

Les variables que intervenen en el cas de capitalització composta són les següents:

• C₀ = Capital inicial.
• i = Tipus d’interès de l’operació expressat en tant per u.
• n = Durada de l’operació. Nombre de períodes.
• I = Interessos que produeix l’operació en un any.
• I_t = Interès total.
• C_n = Capital final o import.

Per obtenir el capital final C_n en què es converteix el capital inicial C₀ després d’n períodes, a un tant per u i d’interès anual, calculeu primer l’import de cada període:

1. Després del primer període els interessos produïts seran (figura):

Com podeu veure l’interès de cada període és el resultat de multiplicar el tant unitari d’interès i pel capital inicial C₀ al començament d’aquest període.

El capital final o import C_n:

Substituint I₁ pel seu valor:

Si traieu factor comú C₀:

2. En acabar el segon període, els interessos generats (figura) són:

El capital final del segon període o import serà:

Substituint I₂ pel seu valor:

Traient el factor comú C₁:

Substituint C₁ pel seu valor:

Operant:

3. En acabar el tercer període, els interessos generats (figura) són:

L’import o capital final del tercer període serà:

Substituint I₃ pel seu valor:

Traient el factor comú:

Substituint C₂ pel seu valor en funció de C₀:

Operant, obteniu el capital final C₃ o import del tercer període:

Per tant, podeu obtenir la fórmula següent de caràcter general per al càlcul del capital final C_n en la capitalització composta:

Si feu una representació gràfica (figura) obtindreu una corba exponencial en relacionar imports i anys.

La relació "anys" amb "imports" és una corba exponencial

Quan el capital inicial invertit sigui una unitat monetària (1 €), C₀ = 1 el capital final o import C_n serà:

Per tant:

(1 +i)ⁿ és el valor final que s’obté d’invertir una unitat monetària (1 €) a un tant unitari d’interès compost anual durant n períodes com podeu veure en la figura.

Si voleu calcular el capital final o valor final de C₀ euros en comptes d’un euro, només haureu de multiplicar C₀(1+i)ⁿ.

Com podeu veure, els interessos són diferents en cada període, ja que es calculen cada any a partir d’un capital diferent.

El capital final de cada període és la suma del capital al començament del període més els interessos corresponents a aquest període.

L’interès és el pagament a la no disponibilitat, és a dir, el fet de prestar uns diners i no poder disposar-ne fins que no ens els tornin. Aquesta situació comporta un cost addicional a la persona a qui s’han deixat. També el podríem definir com el pagament pels serveis del capital, o més concretament, com el preu d’un préstec.

Atès que els interessos es van acumulant al capital, el tant s’aplica cada vegada a quantitats més grans i, per tant, l’interès compost que el diner produeix no és constant, sinó que cada vegada és més gran.

També es poden calcular els ingressos totals en funció del capital inicial C 0, el temps que dura l’operació n i el tipus d’interès i establert.

Atès que:

i

Tenim que:

Si traiem el factor comú C₀:

Podem calcular el capital inicial C₀ a partir d’un capital final C_n que ha estat imposat a un tant unitari d’interès i durant n períodes de temps. O el que és el mateix, substituir un capital futur per un altre amb venciment anterior. Això representa un trasllat en el temps d’un moment futur a un moment anterior. Aquesta operació rep el nom d’actualització o descompte.

A partir de la fórmula general de la capitalització composta:

On (1 + i)^-n és el factor d’actualització en la capitalització composta i, que servirà per traslladar capitals d’un moment donat a un altre anterior, és a dir, translacions negatives de capital (figura).

El descompte compost o l’actualització en tota operació financera és la substitució d’un capital futur per un altre en venciment present. Per tant, tot deute a llarg termini pot ser avançat en el venciment aplicant el factor d’actualització perquè els capitals siguin equivalents.

Partint de la fórmula de l’actualització composta,

Li direm D al descompte.

Sabem que la diferència entre capital final menys capital inicial és el descompte aplicat.

D = descompte

C_n = nominal

C₀ = efectiu

El descompte o actualització composta es divideix en:

a) Descompte racional o matemàtic

És la quantitat que en concepte d’interessos genera el valor efectiu des del seu pagament fins al venciment del nominal, com a resultat d’aplicar un tant d’interès i.

Si D_r és el descompte comercial, C_n el nominal, i el tant d’interès, i n el temps:

Sabem que:

Substituint queda:

b) Descompte comercial

El descompte comercial és el que s’aplica a la negociació d’efectes, tot i que és habitual utilitzar el descompte comercial simple.

Direm que el descompte comercial és la quantitat que, en concepte d’interessos, genera el nominal des del seu pagament anticipat efectiu fins al seu mateix venciment, com a resultat d’aplicar el tant de descompte d. Així:

• D_c és el descompte comercial.
• C_n és el nominal de l’efecte.
• C₀ també rep el nom de valor efectiu i en el descompte d’efectes es fa servir V _e.
• d és el tant de descompte.
• n és el temps.

Per tant:

I com que:

i com que parlem de descompte compost:

El descompte comercial serà:

Per tant, operant i traient el factor comú obtenim la fórmula general del descompte comercial:

Es pot donar la circumstància en què tinguem coneixement del capital inicial C₀, quant de temps ha durat la inversió n i quin ha estat l’import obtingut C_n, però en canvi no tinguem informació del tipus d’interès en què s’ha fet l’operació.

Farem el càlcul partint de l’expressió:

Aïllant (1 + i)ⁿ de l’expressió anterior:

On:

Fórmula a partir de la qual podem calcular el tipus d’interès en funció de l’import o capital final C_n, del capital inicial C₀ i el temps que dura la imposició n.

Una vegada coneixem els valors del capital inicial C₀, el del capital finalC_n, i el del tant d’interès unitari i, necessitem saber com es calcula el temps que dura la inversió des del moment 0 fins el moment 1.

Partint de la fórmula general de la capitalització composta C_n = C₀ (1 + i)ⁿ i aplicant logaritmes ens queda:

I aïllant n obtenim:

La diferència principal entre els dos tipus de capitalització (simple i composta) consisteix en l’acumulació dels interessos generats en cada període de capitalització pel que fa a la capitalització composta, per produir nous interessos en el període següent i així successivament. Aquesta diferenciació és la base d’altres diferències (vegeu la taula).

Els tipus d’interès i el temps sempre han d’estar expressats en les mateixes unitats temporals.

Per tant, la diferència estarà en els factors de capitalització: (1 + i)n per la capitalització composta i (1 + n i) per la capitalització simple.

Si donem valor a totes dues expressions, coincideixen per n = 0 i n = 1, i són diferents pels valors restants. En cas que n estigui compresa entre 0 i 1 (figura).

De la comparació anterior podem dir que l’import de la capitalització és més gran en la capitalització simple quan els períodes són inferiors a un any.

Per tant, les operacions financeres superiors a un any han d’utilitzar l’interès compost; en les operacions a un any és indiferent la utilització d’un sistema de capitalització o un altre, i en operacions inferiors a un any habitualment s’utilitza la capitalització simple.

Parlarem d’equivalència de capitals quan davant d’un conjunt de capitals amb venciments diferents i un altre conjunt de capitals amb altres venciments diferents, la suma dels valors actuals del primer conjunt és igual a la suma dels valors actuals del segon conjunt.

Suposem que C₁, C₂, C₃… C_n amb venciment n₁, n₂, n₃… n_n són equivalents a altres capitals C’₁, C’₂, C’₃… C’_n amb venciment n’₁, n’₂, n’₃… n’_n si la suma dels valors actuals del primer conjunt de capitals és igual a la suma dels valors actuals del segon conjunt de capitals.

Anomenarem C_h la suma dels capitals del primer conjunt. I anomenarem C’_h la suma dels capitals dels segon conjunt. Així mateix, C_0h és valor actual en el moment zero del capital C_h, mentre que C’_0h és valor actual en el moment zero del capital C’_h.

Per definició direm que perquè siguin equivalents C_h i C’_h s’ha de complir:

C₁ + C₂ + … + C_n = C’₁ + C’₂ + … + C’_n

O el que és el mateix:

Per calcular el valor actual d’un capital o un grup de capitals el que farem serà traslladar-los al moment zero, és a dir, actualitzarem o parlarem de descompte.

Que és exactament el mateix. És a dir, traslladem els capitals al moment 0 (figura). Estem fent un descompte compost racional de cada capital:

Trasllat en el temps d'un capital des d'un moment donat //n// a un moment anterior 0

Actualització d'un capital que venç a dos anys amb un 5% d'interès compost anual

Es pot donar el cas que necessitem reagrupar una sèrie de deutes o una sèrie de préstecs.

Per poder-ho fer hem d’aplicar l’equivalència financera perquè, si hem demanat diferents préstecs, no pot ser que hi sortim perdent ni nosaltres ni el nostre creditor, o si som nosaltres els que hem deixat diners, ni nosaltres ni el nostre deutor.

Si tenim un conjunt de capitals:

C₁ , C₂ , C₃ ,…, C_t

I el volem substituir per:

C’_k

El que hem de fer és traslladar tots els capitals en el mateix moment del temps, en aquest cas en el moment 0. Per tant: C’_k en el moment 0 és:

Per definició d’equivalència de capitals hem de partir de la igualtat següent.

Per calcular el valor de C_k, que és el capital que substituirà el conjunt, el que hem de fer és aïllar-lo:

Per tant:

Operant en l’interior de cada claudàtor ens queda:

Exemple de substitució de tres capitals per un únic capital

Suposem que tenim tres capitals de 2.000, 3.000 i 4.000 euros amb venciments a 6, 12 i 18 mesos respectivament. Els volem substituir per un sol capital amb venciment a 16 mesos i a un tipus d’interès anual del 5%.

Calculeu el capital equivalent en capitalització composta.

Com que el tipus d’interès és anual i el venciment dels capitals és en mesos, el primer que hem de fer és calcular el tipus d’interès equivalent.

i₁₂ = (1+0,05)^1/12 -1 = 1,004074 -1 = 0,004074

Si partim de:

C’_k = 2.000(1+0,004)¹⁰ + 3.000(1+0,004)⁴ + 4.000(1+0,004)^-2

Operant:

C’_k = 2.000(1,004)¹⁰ + 3.000(1,004)⁴ + 4.000(1,004)^-2

C’_k = 2.081,45 + 3.048,28 + 3.968,19 = 9.097,92 euros

Per tant, el nou capital que substitueix els tres anteriors (2.000, 3.000 i 4.000) és 9.097,92 euros (figura).

Com podem veure en aquest exercici, hem hagut d’actualitzar els 4.000 euros des del moment 18 fins al moment 16, i hem capitalitzat els 2.000 euros del moment 6 fins al moment 16 i els 3.000 euros del moment 12 fins el moment 16.

Tot això és degut a la distància en el temps.

És habitual que el tipus d’interès s’expressi en tant per cent anual, però a vegades els períodes de capitalització es refereixen a altres unitats de temps, com poden ser mensual, trimestral, bianual…

En capitalització simple els tants proporcionals són equivalents, és a dir, quan parlem d’un 12% anual, és el mateix que dir un 1% mensual.

En capitalització composta no és així, ja que els interessos s’afegeixen al capital i, per tant, no són iguals en cada període.

En els documents financers (contractes, liquidacions periòdiques…) sempre hi ha dos tipus d’interès de referència: un és l’interès nominal o proporcional anual J_m i l’altre és la taxa anual equivalent (TAE).

Per calcular el tipus d’interès que correspon a qualsevol fracció d’any podem dividir l’interès nominal entre el nombre de vegades que estiguin inclosos els períodes d’abonament o càrrec d’interessos i_m mitjançant l’expressió següent:

Tenint en compte que:

• m = la freqüència de fraccionament o nombre de subperíodes que té un any.
• j_m = tipus d’interès nominal anual.
• i_m = tipus d’interès efectiu d’un període m.

Es pot considerar que el tipus d’interès nominal no és un tant real perquè és proporcional al tipus d’interès efectiu d’un període, motiu pel qual a la pràctica només s’utilitza per calcular el tipus efectiu anual (TAE).

Quan parlem de tipus d’efectiu anual, l’expressió més coneguda és la de taxa anual equivalent. Es tracta de l’expressió que sempre surt escrita amb lletra petita en els anuncis televisius de cotxes i contractes de préstecs, per exemple, i que permet el pagament ajornat.

L’interès efectiu o taxa anual d’equivalència és el tipus d’interès i realment abonat o carregat a les operacions financeres en un any.

Es calcula a partir de l’interès efectiu d’un període fraccionat.

Els tants equivalents són els que aplicats a un capital produeixen el mateix import en el mateix temps, encara que els períodes de capitalització siguin diferents.

Tenim:

• i = tipus d’interès anual
• i_m = tipus d’interès d’un període fraccionat
• m = freqüència de fraccionament

L’import d’un euro al tipus i en un any és (1 + i).

El mateix euro durant el mateix temps, però amb una freqüència de capitalització m al tant iproporciona un import igual a (1 + i_m)^m.

Perquè el tant i sigui equivalent al tant i_m els dos imports per definició han de ser iguals:

Hi ha alguns documents mercantils en què només s’expressa el tipus d’interès nominal, per tant es fa necessari poder calcular el tipus d’interès efectiu d’acord amb el nominal.

El que s’ha de fer és substituir en la fórmula d’equivalència de tants el valor i_m pel corresponent nominal.

D’on:

Si comparem la taxa anual equivalent i, i el tipus d’interès nominal, J_m, podem veure que:

El tant real anual (TAE) és el necessari per comparar diferents operacions financeres amb diferents períodes de capitalització.

Parlem de capitalització fraccionada quan el període de capitalització no és anual (es pot tractar de semestres, trimestres, mesos, dies, etc.).

En aquest cas hem de treballar amb un tipus d’interès referit al període de capitalització (tant fraccionat).

Hem de recordar que el tant fraccionat s’ha mesurar amb les mateixes unitats temporals que el període de capitalització. Per exemple, si el tant és trimestral, el temps ha d’estar expressat en trimestres.

En què:

• C₀ = capital inicial
• i_m = tant fraccionat referit al període de capitalització
• n · m = temps total de l’operació, mesurat en la mateixa unitat que el tant fraccionat

Entenem per temps fraccionat el temps que no es correspon amb un nombre exacte de períodes (anys).

Per tant, la capitalització composta a temps fraccionat és l’operació financera en la qual el temps de capitalització no és un nombre exacte de períodes. Per calcular aquest tipus de capitalització hi ha dos sistemes: el conveni exponencial i el lineal.

Si mirem en les operacions monetàries que fem en la nostra vida quotidiana veurem que hi ha tota una sèrie de capitals que tenen un venciment constant, que es repeteix, al llarg del temps, com poden ser els lloguers, els rebuts de la comunitat, els rebuts de les escoles, les aportacions a plans de pensions, etc.

Com podem veure, en el cas anterior tenim un conjunt de capitals i venciments equidistants, per tant estem parlant d’una renda.

Una renda financera està composta per diferents elements:

a) Terme de la renda. És l’import del capital que es paga o es cobra en cada període. Podria ser, per exemple, el lloguer.

b) Període. Cada moment en el temps en què es realitzen els pagaments o els cobraments, per exemple, cada mes.

c) Durada de la renda. Temps total que dura la renda, per exemple, aquest lloguer en un termini de cinc anys.

d) Valor capital. Import que en un moment donat és equivalent al total de la renda.

Podem calcular el valor de capital d’una renda en qualsevol moment. Els imports calculats són diferents segons el moment, però són equivalents.

• Si es calcula en el moment inicial, rep el nom de valor actual.
• Si es calcula en el moment final, rep el nom de valor final.

No totes les rendes són com un lloguer de la mateixa quantitat en el temps, sinó que podem parlar de capitals diferents, que vencin cada any o que siguin trimestrals, mensuals, etc. També pot ser que el primer pagament sigui en el moment 0 o bé que sigui a final del primer període.

Aquest fet contribueix a que puguem classificar les rendes segons diferents criteris (taula).

1. Segons la naturalesa dels capitals que la componen les rendes poden ser:

• Rendes constants

En la figura teniu una mostra de renda constat.

Pagament d'un lloguer de 750 € al mes

• Rendes variables

En la figura es mostra un exemple de renda variable en el qual una persona espera obtenir un ingressos de 12.000, 13.000, 14.000 euros…, fins a 10 anys.

2. Per venciment del primer pagament, segons si el pagament es fa al començament del període o a final del període:

• Renda postpagable. És la renda en què el primer pagament o cobrament es realitza en finalitzar el període en què es constitueix la renda (figura).

El pagament o cobrament de C es realitza a final del període de constitució de la renda en aquest cas a final de període zero.

• Renda prepagable. És la renda en què el primer pagament o cobrament es realitza en el moment de la constitució de la renda, és a dir, en el moment 0 (figura).

El pagament o cobrament de C es realitza en el moment 0.

3. Pel nombre de termes que les componen, les rendes poden ser:

• Rendes temporals. Són les rendes que tenen un nombre finit de termes (figura).

• Rendes perpètues. Són les rendes que tenen un nombre infinit de termes (figura).

4. Depenent del començament i final de la renda, és a dir, segons quin sigui el moment de la valoració:

• Rendes immediates. El primer període de la renda immediata comença en el moment de la constitució de la renda, i l’últim terme coincideix amb l’últim període de la renda (figura).

• Rendes diferides. El primer terme no coincideix en el moment de la constitució de la renda, sinó un temps després (figura). Suposem un contracte de lloguer que es comença a cobrar o pagar al cap de dos mesos de signar el contracte o bé de l’ocupació de l’habitatge. En aquest cas seria una renda constant (pagaments iguals).

• Rendes anticipades: En les rendes anticipades l’últim període se situa un determinat temps després del venciment de l’últim terme de la renda.

5. Depenent de l’amplitud del període

• Senceres. Quan el període del terme de la renda concorda amb el període de capitalització.
• Fraccionades. Quan el període de capitalització no concorda amb el període de capitalització del tant.

6. Depenent de la mesura dels seus intervals

• Discretes. Són les rendes amb intervals finits.
• Contínues. Són les rendes en què l’amplitud dels intervals és infinita.

7. Segons la naturalesa dels capitals

• Certes. Són les rendes en què la quantia de la prestació i el moment estan determinats.
• Aleatòries. Són les rendes en què la quantia o el moment del venciment no estan determinats.

Tenim una gran quantitat d’exemples de rendes postpagables, com poden ser la nòmina d’un treballador, els interessos a termini fix d’un compte bancari o d’un compte corrent… (figura).

Valor actual d’una renda constant immediata i postpagable

El lloguer d’un pis, el pagament de la pòlissa d’assegurances, el rebut de l’escola, el rebut de la comunitat, són pagaments constants i si es paga a final de mes o a final d’any, és a dir, a final del període, estem parlant d’una renda constant postpagable.

Abans de poder calcular el valor actual i el valor final d’una renda cal tenir clars els següents conceptes:

• Va_ni: és el valor actual d’una renda constant immediata i postpagablen de n termes a un tipus d’interès i.
• VS_ni: valor final d’una renda constant immediata i postpagable de n termes a un tipus d’interès i.
• n: nombre de períodes de què està composta la renda.
• i: tant per u de l’operació financera.

Per calcular el valor actual i el valor final d’una renda constant immediata i postpagable, usarem el càlcul del valor actual o el valor final d’una renda unitària en la qual cada terme té el valor d’un euro (figura).

Definirem:

• a_ni: valor actual d’una renda constant, immediata, postpagable i unitària.
• S_ni: valor final d’una renda constant, immediata, postpagable i unitària.

Sabent que la suma dels termes d’una progressió geomètrica de raó menor que la unitat és:

i partint de C_n= C₀ ( 1 + i )ⁿ,

en què:

El valor actual de cada un dels termes d’una renda constant postpagable és un progressió geomètrica de raó (1 + i)^-1.

Per tant, si apliquem la fórmula de la suma de la progressió geomètrica tenim que:

Si multipliquem el numerador i el denominador per (1 + i):

Fins ara hem parlat d’una renda unitària, però si els termes de la renda prenen el valor C, el que haurem de fer és multiplicar l’expressió anterior per C.

Valor final d’una renda constant, postpagable i immediata

El valor final d’una renda és el valor de la renda calculat en el moment del venciment de l’últim terme. Per tant, el valor final d’una renda constant, postpagable i immediata, també es calcula de la mateixa manera (figura).

Si la suma de la progressió geomètrica és:

I tenint en compte que la raó de la progressió geomètrica és (1 + i)^-1:

Multiplicant el numerador i el denominador per (1 + i):

Quan el valor de la renda sigui C, obtindrem el valor final de la renda multiplicant S_ni per C

VS_ni = CS_ni

Substituint S_ni pel seu valor:

Relació entre el valor final i el valor actual d’una renda constant, immediata i postpagable

Pel mètode de la capitalització i l’actualització de capitals, obtenim un procediment abreujat per al càlcul del valor final d’una renda constant, immediata i postpagable.

És a dir, traslladem el valor actual d’una renda constant, immediata i postpagable al seu moment n.Ho podem veure gràficament en la figura.

Gràficament ho podem veure en la figura.

Exemple de renda constant immediata i postpagable

El pare d’en Lluís vol que el seu fill rebi una renda de 6.000 euros al final de cadascun dels propers 10 anys. Si el seu banc li ofereix un tipus d’interès fix del 5% durant el període de l’operació financera, quina quantitat haurà de dipositar en el banc en aquell moment? En podeu veure la representació gràfica en la figura.

C = 6.000 €

i = 0,05 anual

n = 10 anys

Va_100,05 = 46.330,65 euros

Haurà de dipositar en el banc 46.330,65 euros.

Les rendes constants prepagables són les que es paguen al principi de cada període i en què el terme de la renda (import que es paga) sempre és igual (la mateixa quantitat) (figura).

Com totes en les rendes, podem calcular el valor de la renda a l’inici, que rep el nom de valor actual V₀ ^*, o el valor de la renda al final, que rep el nom de valor final, V_n ^*.

Valor actual d’una renda constant prepagable

El valor actual d’una renda constant prepagable d’n termes de valor C i a un tipus d’interès i es designa com a V₀ ^*, i la seva representació gràfica és la de la figura.

Per calcular el valor actual hem de traslladar cadascun dels termes de la renda al moment 0, és a dir, actualitzar-la.

Els valors actualitzats de cada terme d’una renda anual constant prepagable estan en progressió geomètrica de raó (1+i).

La suma dels n termes d’aquesta progressió és el valor actual de la renda.

V₀ ^* = C + C (1 + i )^-1 + (1 + i )^-2 + … + (1 + i )^-(n-1)

Aplicant la fórmula de la suma de la progressió geomètrica:

Operant en el numerador i el denominador tenim:

En què:

a^* _{n i} = (1 + i)a_ni

La durada i el tipus d’interès han d’estat referits a les mateixes unitats temporals. Si els termes són anuals, s’ha d’utilitzar el tant anual, si són trimestrals s’ha d’utilitzar el tant trimestral, si són mensuals, s’ha d’utilitzar el tant mensual.

Exemple de càlcul de valor actual d'una renda anual constant prepagable

Calculeu el valor actual d’una renda anual constant prepagable de 427 euros durant quatre anys al 6% anual.

Per poder veure clarament si es tracta d’una capitalització o d’una actualització, se n’ha de fer la representació gràfica (figura).

V₀ = 427 · a _{4 0,06}

Operant:

V₀ ^* = 427 · 3,6730 = 1.568,36 euros

Quan es tracta de pocs períodes el càlcul es pot fer actualitzant període a període, fins al moment 0.

S’ha de tenir en compte que la quantitat del primer any, atès que ja està en el moment 0 no necessita actualització.

V₀ ^* = 427 + 427 (1 + 0,06)^-1 + 427 (1 + 0,06)^-2 + 427 (1 + 0,06)^-3 = 1.568,36 euros

El valor actual d’una renda constant anual prepagable de 427 euros a un 6% anual és de 1.568,36 euros.

Són les rendes en les quals només sabem els termes i el començament, però no el final.

Per calcular el valor actual hem de tenir en compte que, atès que es tracta d’una renda immediata, es calcula abans del venciment del primer terme.

a_∞i = valor actual de la renda unitària perpètua postpagable i immediata

Va_∞i = valor actual de la renda unitària perpètua postpagable i immediata

n = nombre de períodes

i = tant per cent de l’operació financera

Per calcular el valor actual d’una renda unitària perpètua postpagable i immediata (figura) ho farem a partir del valor actual d’una renda unitària.

Atès que el terme de la renda és C, el valor actual d’una renda perpètua postpagable i immediata.

Exercici de càlcul del valor actual d'una renda constant immediata i perpètua

Calculeu el valor actual d’una renda anual constant immediata i perpètua de 10.000 euros, sabent que el tipus d’interès és del 3% anual.

VaVa_∞i =

C = 10.000 €

n = ?

i = 0,03 anual

substituint:

Va_{∞ 0,03} =

El valor actual d’una renda anual constant immediata i perpètua de 10.000 euros a un 3% anual és de 333.333,33 euros.

És una operació bancària d’actiu; l’entitat financera presta diners a una persona (física o jurídica). Aquesta ha de tornar els diners deixats a un tipus d’interès i abonar, a més, unes comissions bancàries.

En l’operació de préstec intervenen bàsicament dues persones (figura):

a) El prestador és la persona que té un excés de fons i, per tant, els deixa. Normalment és una entitat financera.

b) El prestatari és la persona que necessita els fons del prestador i, per tant, la persona a qui li deixen. El prestatari haurà de tornar, en finalitzar l’operació, els fons que li han deixat més els interessos que hagin acordat.

Els elements que intervenen en les operacions de préstec són:

• C₀ = capital prestat o import del préstec.
• n₀, n₁ , ……, n_n = instant de temps en què es fan efectius els termes d’amortització.
• i_s = tipus d’interès de cada període expressat en tant per u.
• I_s = interès corresponent a cadascun dels períodes.

Es calculen mitjançant l’expressió següent:

I_n = C_n-1 · i

C_s+1 és el capital pendent d’amortitzar al començament del període

A_s és l’amortització del capital de cada un dels períodes, també rep el nom de quota d’amortització del període.

Es calcularia a partir de l’expressió següent:

A_n = C_n-1 - C_n = a_n - I_n

M₂ és igual al capital amortitzat al final de cada període.

Es calcularia sumant totes les quotes d’amortització fins al moment:

a_s són els termes d’amortització, algunes vegades reben el nom d’anualitats (figura).

Arribat el període s:

a_s = I_s + A_s

C_n = capital pendent d’amortitzar, és a dir, la part del préstec que encara queda per pagar. Es calcula a partir del capital amortitzatM fent servir l’expressió següent:

C_n = C₀ - M_n

En què C₀ és el principal de l’import prestat.

Un préstec es pot tornar de maneres molt diverses. Cada vegada més, les entitats financeres s’ajusten a les necessitats dels clients i, per tant, han desenvolupat una gran quantitat de productes en aquest sentit.

Classificarem els préstecs segons el reembossament:

a) Préstecs amortitzables amb reembossament únic. Aquests, a la vegada, els podem classificar en:

• Els de reembossament únic.
• Els de reembossament únic amb pagament periòdic d’interessos, que també rep el nom de préstec americà.

b) Préstecs amortitzables amb una renda. En aquest cas es fan reembossaments al llarg del temps que inclouen amortització de capital i pagament d’interessos a la vegada. A la vegada els podem classificar en:

• Préstecs amortitzables mitjançant anualitats constants, també anomenats préstecs francesos.
• Préstecs amortitzables amb quotes variables, formades per amortització de capital i d’interessos.

En el reembossament únic -el nom ho diu-, la quantitat rebuda en concepte de préstec més els interessos és reembossen d’un sol cop (figura).

Préstecs amortitzables amb reembossament únic al final

En aquests préstecs, el reembossament es fa en una sola vegada i al final del període de retorn del préstec.

Presentem cadascun dels seus components:

• Termes d’amortització:
  a₁ = a₂ = … = a_n-1 = 0
  Sabem que:
  a_n = C₀ (1 +i )ⁿ
• a_n és l’última unitat, és diferent de zero, i és la capitalització de l’import del préstec durant tot el període de temps que duri l’operació financera.
• Capital pendent d’amortitzar en el període s.
  C_s = C₀ (1 +i )^s
• Quota d’amortització:
  A₁ = A₂ = … = A_n-1 = 0
  A_n = C₀

C₀ = 30.000 €

i = 0,0725

n = 5

a_n = C₀ (1 + i ) ⁿ = 30.000 (1 + 0,0725)⁴ = 39.692,70 euros

Al començament de cinquè any, l’Àngels haurà de pagar 39.692,70 euros. :::

Préstecs amortitzables amb reembossament únic amb pagament periòdic d’interessos

Aquest préstec també rep el nom de préstec americà, i consisteix en el fet que el prestatari es compromet a reembossar el capital al final de l’operació, però els interessos es paguen al final de cada període (figura).

Presentem cadascun dels seus components:

• Termes d’amortització:
  a₁ = a₂ = … = a_n-1 = 0
  a_n = C₀ + C₀ · i
• Capital pendent d’amortitzar (capital viu o reserva matemàtica) en l’any s.
  En pagar-se periòdicament els interessos, el capital pendent sempre serà el mateix: C₀.
  C₁ = C₂ = … = C_n-1 = C₀
• Quotes d’amortització: totes les quotes tenen valor zero, excepte l’última que coincideix amb el valor C₀.
  A₁ = A₂ = … = A_n-1 = C₀
  A_n = C₀
• Quotes d’interès: totes seran iguals, ja que el deute pendent d’amortitzar sempre és el mateix i el seu valor és:
  I₁ = I₂ = … = I_n = C₀ · i

L’amortització d’aquests tipus de préstecs es fa per anualitats que estan compostes per part d’amortització de principal i part d’interessos.

Els préstecs amortitzables per anualitats es poden classificar en dos tipus, mitjançant una renda amb anualitats constants i mitjançant una renda amb anualitats variables.

Préstec amortitzable mitjançant una renda amb anualitats constants

El préstec amortitzable amb anualitats constants també rep el nom de préstec francès.

En aquest tipus de préstec, el prestatari es compromet a lliurar al prestador, al final de cada període, una quantitat constant, anomenada anualitat a_s.

Aquesta anualitat està formada per dos elements:

• La quota d’interessos I_s , formada per interessos del capital pendent d’amortitzar al principi de cada període; aquesta quota decreixerà en cada període, en proporció a la disminució del capital pendent d’amortitzar. Vegeu la figura.

• Quota d’amortització A_s, formada per la quantitat destinada a l’amortització del préstec; augmentarà en la mateixa mesura que baixin els interessos.

a_s = I_s = A_s

Atès que:

a₁ = a₂ = a₃ = … = a

I si:

I₁ > I₂ > I₃ > … > I_s

Es compleix que:

A₁ < A₂ < A₃ <…< A_s

L’anualitat segons el préstec és igual al total del préstec dividit pel valor actual de la renda constant postpagable i immediata.

a = C₀ / a_{n i}

Aïllant podem trobar C₀:

C₀ = a · a_{n i}

Per resoldre els exercicis d’amortització d’un préstec amb anualitats constants (préstec francès) utilitzarem la taula.

Taula: Quadre d’amortització d’un préstec amb anualitats constants

Anys	Terme amortitzat a	Quota d’interès I	Quota d’amortització A	Capital amortitzat M	Capital pendent d’amortitzar C
0	-	-	-	-	C0
1		I1 = C0 · i	A1 = a - I1	M1 = A1	C1 = C0 - M1
2		I2 = C0 · i	A2 = A 1 (1+i)	M2 = M1 + A2	C2 = C0 - M2
3		I3 = C0 · i	A3 = A 2 (1+i)	M3 = M2 + A3	C3 = C0 - M3
…	….	…	…	…	…
N		In = Cn-1 · i	An = A n-1 (1+i)	Mn = Mn-1 + An	Cn = C0 - Mn = 0

Taula: Quadre d’amortització d’un préstec

Anys	Terme amortitzat	Quota d’interès In = Cn-1 · i	Quota d’amortització An = A n-1 (1+i)	Capital amortitzat Mn = Mn-1 + An	Capital pendent d’amortitzar Cn = C0 - Mn = 0
0	-	-	-	-	C0
1		I1 = C0 · i = 100.000 · 0,1 = 10.000	A1 = a - I1 = 31.547,1 (1+0,1) = 21.547,1	M1 = A1 = 21.547,1	C1 = C0 - M1 = 100.000 - 21.547,1 = 78.452,92
2		I2 = C0 · i = 78.452,92 · 0,1 = 7.845,29	A2 = A 1 (1+i = 21.547,1 (1+0,1) = 23.701,80)	M2 = M1 + A2 = 21.547,1 + 23.701,80 = 45.248,90	C2 = C0 - M2 = 100.000 - 45.248,90 = 54.751,10
3		I3 = C0 · i = 54.751,10 · 0,1 = 5.475,11	A3 = A 2 (1+i)= 23.701,80 (1+0,1) = 26.072	M3 = M2 + A3 = 45.248,80 + 26.072 = 71.320,9	C3 = C0 - M3 = 100.000 - 71.320,9 = 28.679,1
4		I4 = C3 · i = 28.679,10 · 0,1 = 2.867,9	A4 = A 3 (1+i) = 26.072 (1+0,1) = 28.679,1	M4 = M3 + A4 = 71.320,9 + 28.679,1 = 100.000	C4 = C0 - M0 = 100.000 - 100.000 =0

Préstec amortitzable mitjançant una renda amb anualitats variables

En aquest tipus de préstec el prestatari es compromet a lliurar al prestador, al final de cada període, una quantitat variable, anomenada anualitat.

Per a l’amortització d’un préstec amb anualitats variables es fa servir un quadre d’amortització com el de la taula.

Com podem veure, la xifra final en l’última fila de la columna del capital amortitzat ha de ser igual a l’import del préstec i, per tant, la xifra corresponent al capital pendent ha de ser zero.

En què:

• I_s està formada pels interessos del capital pendent d’amortitzar al principi de cada període. Recull l’import dels interessos del període.
• A_s està format per una quantitat destinada a l’amortització del préstec o el reembossament del préstec en aquest període.

Aquesta distribució ens permet de representar la dinàmica de l’amortització que podem veure gràficament en la figura.

El fet de contractar un préstec comporta uns costos que reben el nom de costos de formalització (obertura, estudi, federatiu públic…) i que l’entitat bancària trasllada al seu client.

Tot préstec té un risc d’impagament per part del prestatari, tant del principal com dels interessos, que el prestador es podrà garantir de la manera següent:

a) Garanties personals

Són garanties exigides al client (persona que demana el préstec), i que es basen en la confiança del compliment de les obligacions en els termes pactats i en l’existència d’un patrimoni del prestatari, lliure de càrrecs, per respondre de les operacions del préstec o bé d’uns avaladors.

b) Garanties reals

Són garanties constituïdes per béns, habitualment immobles i drets. En cas d’immobles, aquestes garanties reben el nom d’hipoteques.

Els préstecs de les entitats financeres es formalitzen mitjançant la pòlissa de préstec (contracte), i si és un préstec hipotecari en forma d’escriptura pública.

En la pòlissa del préstec, com a mínim hi han de figurar les clàusules següents:

• Parts contractants: prestador (banc o caixa d’estalvis), prestatari (persona o empresa que rep el préstec), nom de l’agent mediador (corredor de comerç).
• Fixació d’interessos anuals nominals i de la TAE corresponent del préstec.
• Fixació de comissions.
• Terminis.
• Facultat especial del banc per cobrar, quan se li deixi a deure un termini.
• Qualsevol facultat que pugui autoritzar la modificació d’interessos amb relació a l’interès bàsic del Banc d’Espanya o l’euríbor.

Com en tot contracte, en una operació de préstec, les dues parts contractants tenen un seguit d’obligacions:

a) Obligacions del prestador

Els bancs i les caixes d’estalvi tenen respecte del prestatari els compromisos següents:

1. Lliurar el capital en el moment pactat.
2. No carregar a l’usuari les despeses no pactades.
3. Proporcionar a l’usuari les dades següents:

b) Obligacions del prestatari

Tota persona o empresa que percep un préstec ha de complir les estipulacions següents:

• Pagar totes les despeses que es derivin de la formalització del préstec.
• Els interessos i les comissions s’han d’abonar en el moment en què meritin.
• Les amortitzacions de capital s’han d’efectuar en els terminis convinguts.
• Ha de pagar els interessos corresponents a demores i descoberts al tipus d’interès que per a aquests casos figuri en la pòlissa.
• Els lliuraments a compte s’han d’imputar en primer terme al pagament d’interessos per ordre de venciment i, després, al capital.
• Al final del període de préstec ha de quedar restituïda la totalitat del capital i abonades totes les comissions i els interessos produïts.