Equacions elementals de segon grau amb una incògnita

1. EQUACIONS DE SEGON GRAU AMB UNA INCÒGNITA

Definició: una equació és de segon grau amb una incògnita quan és equivalent a l'equació:

on x és la incògnita i a≠0, b i c, nombres.

És a dir, quan després del procediment general de resolució, el major exponent de la
incògnita és 2.

No correspon a aquest curs ni l'estudi ni la pràctica amb ella. Només estudiarem un cas particular que explicarem en el següent apartat.

Quan ens donin una equació seguirem el procés de sempre.

Resolució:

a) Transposició de termes: es passen tots els termes a un mateix membre (com sempre,
si un terme està sumant passa a l'altre membre restant i viceversa), i l'altre queda igual a 0.

b) Reducció de termes: s'efectuen les sumes i restes indicades (les dels termes de segon grau entre ells, les dels termes de primer grau entre ells i les dels termes independents entre ells).

En aquest moment, si l'equació és de segon grau quedarà de la forma

on a≠0.

(Si a=0, aleshores serà una equació de primer grau, i es resoldrà com ja sabem.)

c) Aïllament de la incògnita: amb la fórmula

Insistim que no correspon a aquest curs ni estudiar-la ni practicar amb ella. Només en el cas particular que explicarem a continuació.

2. EQUACIONS DE SEGON GRAU AMB UNA INCÒGNITA EN EL CAS
a = 1, b = 0, c < 0
En aquest curs només estudiarem aquest cas particular, en el que l'equació de segon grau és:

(C < 0)

Només fem la deducció per entendre la solució final. En aplicar-hi la fórmula general, com que
a = 1, b = 0, dóna

Fixeu-vos que el valor de c és negatiu (c < 0), per tant ─ c dins l'arrel quadrada és positiu per la regla: ─(─ ) = + . Això vol dir que sempre que c sigui negatiu, l'arrel quadrada sempre es podrà calcular i l'equació anterior tindrà solució.
 
EXEMPLE 1: Així, en el procés de resolució d'aquest tipus d'equacions sempre farem
Fixeu-vos que trobar les x, el quadrat de les quals és un nombre donat positiu (a l'exemple és 25), vol dir calcular l'arrel quadrada d'aquest nombre positiu i posar davant del resultat de l'arrel un signe més(+) i un menys(─). Ambdós seran solucions. En elevar al quadrat cadascun d'ells, resulta el nombre donat (això ho podeu fer com a comprovació). Així, les solucions de l'equació són: x = ─ 5 i x = + 5.
 
EXEMPLE 2: x2 ─ 121 = 0, x2 = 121; es fa l'arrel quadrada de 121; solucions: x = +11, x = ─11
 
EXEMPLE 3: No es pot resoldre l'equació quan entre x2 i el terme independent C hi ha un signe positiu (+), com per exemple:
perquè l'arrel quadrada d'un nombre negatiu no és un nombre real. Si feu l'arrel quadrada de ─16 en una calculadora científica, donarà error i si ho feu en una gràfica, donarà 4·i (i s'anomena variable complexa). Quan estudieu més matemàtiques -si és el cas, a mi m'encantaria- sabreu què significa. Ara, ho deixem com una altra incògnita(?) de la que no és adient parlar-ne aquí.
PERÒ, QUÈ TÉ A VEURE TOT AIXÒ AMB EL TEOREMA DE PITÀGORES? Ara introduirem aquest teorema, però més endavant en parlarem amb molt més detall. Fixeu-vos en el títol "COM S’APLICA EL TEOREMA DE PITÀGORES, UTILITZANT L'EQUACIÓ DE 2n GRAU" de la pàgina 2 del document que ara s'obrirà.
Per últim, s'ha de tenir en compte que quan apliquem al teorema de Pitàgores l'equació de segon grau que hem explicat, ho estem fent en un triangle rectangle i la incògnita és un costat del triangle que pot ser la hipotenusa o un dels catets. Per tant, sempre deixarem el signe positiu com a solució, ja que no té sentit donar un costat amb longitud negativa.
« Anterior | Següent »