Definició d'equació. Equacions de primer grau amb una incògnita
| 1. EQUACIONS: DEFINICIONS |
| Equació: igualtat entre dues
expressions algebraiques.
L'expressió de l'esquerra de la
igualtat rep el nom de PRIMER MEMBRE de l'equació; la de la dreta, SEGON
MEMBRE.
Incògnita: cadascuna de les variables (representades per lletres)
que surten en una equació.
Solució: cadascun dels valors
de les variables per als quals la igualtat es compleix.
Equació
compatible: aquella que té solució. Si admet un
nombre finit de solucions diem que és DETERMINADA i si admet infinites
solucions, INDETERMINADA. Equació incompatible: aquella que no admet solució.
Equacions equivalents: aquelles que tenen el mateix conjunt de solucions. |
| 2. RESOLUCIÓ D’EQUACIONS |
|
Resoldre una
equació és trobar-ne TOTES les solucions. Això
es fa transformant-la successivament en equacions equivalents, fins a arribar a
les solucions.
Donada una equació,
se'n poden trobar d'equivalents:
a)
Sumant o restant el mateix nombre als dos membres d'una equació.
b) Multiplicant o dividint els dos
membres d'una equació pel mateix nombre diferent de zero(0).
|
| 3. PROCEDIMENT GENERAL DE RESOLUCIÓ |
| Donada qualsevol
equació, hi ha uns passos previs que sempre s'han de fer:
a) Treure parèntesis (si n'hi ha), aplicant la propietat distributiva del producte respecte
de la suma o bé desenvolupant les potències indicades o efectuant els productes
de les expressions algebraiques.
b) Treure
denominadors (si n'hi ha), calculant el mínim comú múltiple de tots els denominadors
de l'equació i multiplicant tots els termes per aquest. c) Eliminar termes: quan en una equació surt un mateix terme (amb el mateix signe) en els dos membres, es pot eliminar. d) Reduir termes: en qualsevol moment del procés de resolució d'una equació cal efectuar les sumes i restes indicades entre termes semblants.
Un cop realitzats aquests passos el grau de l'equació és
el del terme de major grau.
Una equació
polinòmica compatible determinada té tantes solucions (entre reals i complexes)
com indica el seu grau. Això és a títol d’informació. No es veurà en aquest
curs. Les equacions polinòmiques es classifiquen i resolen segons el seu grau. |
| 4. EQUACIONS DE PRIMER GRAU AMB UNA INCÒGNITA |
| Definició: una equació és de primer grau amb una incògnita quan és
equivalent a l'equació: a·x = b on x és la incògnita i a i b, nombres.
Resolució: es procedeix de la següent manera:
a) Transposició de termes: es passen tots els termes amb incògnita a un membre i els que no en
tenen, a l'altre. Quan un terme està sumant en un membre passa restant a l'altre
i viceversa, com a conseqüència de la de l’apartat 2.a) anterior.
b) Reducció de termes: s'efectuen
les sumes i les restes que han quedat indicades tal com s’explica a l’apartat
3.d) anterior i l'equació queda de la forma a·x = b.
c) Aïllament de la incògnita: si
el coeficient (a), que queda multiplicant la incògnita, és diferent de 0, passa
dividint a l'altre membre (amb el mateix signe) com a conseqüència de l’apartat
2.b):
 Discussió: l'equació a·x = b pot presentar 3 casos:
a) a≠0 : hi ha una sola solució, que es troba aïllant x. Llavors
l'equació és
b) a=0: l'equació queda de la forma: 0·x = b
essent b≠0, no hi ha solució. Per tant, es
tracta d'una equació incompatible.
La major part de les vegades, però, ens
adonarem que es tracta d'una equació incompatible perquè arribarem, en algun
pas anterior, a una igualtat "absurda".
c) Si l'equació queda de la forma 0·x = 0 perquè tant a com b valen zero:
qualsevol valor de x és solució. Tenim, doncs,
una equació compatible indeterminada. |
| EXEMPLE 1: |
 |
| EXEMPLE 2: |
 |