Principis bàsics de lògica digital
La lògica digital és la “manera de pensar i fer càlculs” que tenen totes les màquines digitals, que poden ser des d’una senzilla calculadora fins a un autòmat programable o un potent ordinador. Per tant, per entendre com funcionen aquestes màquines digitals és necessari saber operar amb lògica digital.
Als annexos del present mòdul hi teniu disponible un tutorial sobre el maneig de les unitats físiques.
A diferència dels sistemes analògics, els sistemes digitals només poden prendre un conjunt de valors discrets i canvien de valor per salts.
Els equips digitals utilitzen el sistema de numeració binari, el qual opera únicament amb dos dígits, el 0 i l’1. Com que els éssers humans pensem amb els sistema de numeració decimal, s’han desenvolupat tècniques matemàtiques per fer conversions entre sistemes de numeració: de binari a decimal, de decimal a binari, de binari a hexadecimal, d’hexadecimal a binari, de decimal a hexadecimal i d’hexadecimal a decimal.
Als annexos del present mòdul hi teniu disponible un tutorial sobre el procediment de les mesures elèctriques.
Els sistemes digitals fan operacions matemàtiques amb dades expressades en binari. Com a instrument matemàtic per treballar amb sistemes digitals utilitzem l’àlgebra de Boole.
Senyals analògics i senyals digitals
Al camp de l’electricitat i l’electrònica, hi ha dues maneres de representar informació, que anomenem analògica i digital, i que es distingeixen per la naturalesa dels valors que poden prendre les variables que ens donen una mesura d’aquesta informació.
Consulteu el vídeo “El circuit lògic” als annexos del web.
Un senyal analògic és aquell que varia de forma contínua (sense salts) i pot prendre infinits valors al llarg del temps.
-
- Termòmetre analògic de mercuri
Termòmetre de mercuri
El clàssic termòmetre de mercuri està format per un tub de vidre totalment tancat dins del qual hi ha un líquid, en la majoria dels casos mercuri o alcohol.
El principi de funcionament que permet a aquest instrument mesurar la temperatura és que el volum del líquid que conté canvia de manera uniforme segons la temperatura, de manera que quan el líquid s’escalfa s’expandeix i quan es refreda es contrau. Aquest canvi de volum és visible a través del vidre i es manifesta fent més llarga o més curta la columna de líquid que hi ha dins del tub.
En aquest cas, la informació és la temperatura i la variable que conté la informació és la columna del líquid. Com ja sabem, aquest instrument no és elèctric ni electrònic, però la naturalesa d’aquest senyal és clarament analògica, ja que la longitud de la columna de líquid canvia de manera contínua (sense salts) i pot prendre infinits valors (dins dels límits de l’escala del termòmetre).
Un senyal digital és aquell que només pot prendre un conjunt de valors discrets i canvia de valor per salts.
-
- Termòmetre digital
Termòmetre digital
Els termòmetres més moderns no es basen en el mètode clàssic del termòmetre de mercuri. Aquests instruments disposen d’una petita pantalla en la qual es visualitza un nombre que representa la temperatura mesurada.
En aquest cas, la informació també és la temperatura i la variable que conté la informació és el nombre que es veu a la pantalla.
Aquesta variable és digital, ja que el nombre mostrat a la pantalla no varia d’una manera contínua amb la temperatura, sinó que normalment canvia en salts discontinus o discrets de 0,1 graus.
Sistemes de numeració en els sistemes digitals
A la nostra vida quotidiana, els éssers humans treballem amb deu xifres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9) que combinem per representar qualsevol número i per fer càlculs: és el que s’anomena sistema de numeració decimal.
Consulteu el vídeo “La codificació digital” als annexos del web.
Els equips digitals (ordinadors, autòmats programables, etc.) treballen amb un mètode per comptar i fer càlculs molt particular: tan sols treballen amb les xifres 0 i 1. És el que s’anomena sistema de numeració binari.
Com que els nombres binaris poden ser molt llargs, sovint s’utilitzen altres sistemes de numeració per representar-los: són els sistemes de numeració hexadecimal i BCD
Per entendre com funcionen els equips digitals és necessari que sapigueu operar amb nombres binaris, hexadecimals i BCD, i que sapigueu convertir un nombre d’un sistema a un altre.
Sistema de numeració decimal
L’ésser humà fa servir la numeració decimal pel costum dels homes primitius de comptar amb els dits de la mà: d’aquesta manera era més fàcil fer la correspondència entre cada objecte i un dit de la mà.
Sabíeu...
… que al llarg de la història han sorgit molts sistemes de numeració diferents? El nostre sistema decimal actual va ser inventat a l’Índia i transmès a Europa pels àrabs.
Amb el temps, aquests homes primitius van haver de representar quantitats per escrit i va sorgir la necessitat d’assignar un símbol o dígit a cada nombre, fet que va originar els deu símbols (dígits) que es fan servir en el sistema decimal:
Dígit
Un dígit és cadascun dels signes o els símbols que s’empren en un determinat sistema de numeració per formar els diferents nombres.
Però, és clar, normalment volem representar més de deu nombres. Cap problema: sabem que el sistema decimal permet representar qualsevol nombre sencer afegint-hi noves xifres. Així, amb dues xifres decimals, podem representar 100 nombres (del 0 al 99), amb tres xifres podem representar 1.000 nombres (del 0 al 999) i així consecutivament.
Descomposició d'un nombre decimal
El nombre 2.364 consta de 4 xifres que representen el nombre d’unitats (4), desenes (6), centenes (3) i milers (2).
Si fem servir una mica de matemàtiques, podem descompondre aquest nombre tal com s’indica:
Una altra manera d’escriure la suma anterior és fent servir la potenciació:
Escrivint el nombre com una suma de potències, queda molt més clar per què el sistema decimal es diu que és un sistema en base deu: cada dígit multiplica la base (el 10) elevada a un exponent.
Recordeu aquesta manera de descompondre un nombre perquè us serà molt útil quan estudieu els sistemes binari i hexadecimal.
Sistema de numeració binari
El sistema binari fa servir únicament dos dígits, el 0 i l’1, en lloc dels deu dígits que fa servir el sistema decimal.
El sistema de numeració binari també és anomenat sistema de numeració en base dos.
Així, amb una xifra només podem representar dos nombres: el 0 i l’1. Per representar més de dos nombres hem d’afegir noves xifres a l’esquerra, tal com havíem fet en el cas decimal.
Cada una d’aquestes xifres és el que es coneix com a bit i , per tant, podem dir que un nombre binari es compon d’una sèrie de bits.
- Amb dos bits podem representar quatre nombres: 00, 01, 10 i 11.
- Amb tres bits podem representar vuit nombres: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110 i 111.
- Amb quatre bits podem representar setze nombres: 0000, 0001, 0010, 0011, 0100, 0101, 0110, 0111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110 i 1111.
- I així consecutivament.
En la taula podeu veure l’equivalència entre els primers nombres dels sistemes decimal i binari.
| Decimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Binari | 0 | 1 | 10 | 11 | 100 | 101 | 110 | 111 |
| Decimal | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Binari | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
Hi ha una relació entre el nombre de bits que té un codi binari i la quantitat de nombres que es poden representar. Aquesta important relació és la següent:
On N és la quantitat de nombres que es poden representar amb n bits.
Quants nombres podem representar amb vuit bits?
La resposta és 28 o, el que és el mateix, 256.
Com que el primer nombre és el 0 (00000000), l’últim que es podrà representar és el 255 (11111111).
L’agrupació de vuit bits és tan utilitzada en electrònica i, sobretot, en informàtica, que rep un nom especial: byte.
Treballar amb nombres binaris de molts dígits no és gaire còmode i és fàcil que ens equivoquem, per exemple, quan hem de copiar un nombre d’un lloc a un altre en un exercici.
Una manera d’intentar fer més llegible els nombres binaris consisteix a separar els nombres grans en grups de quatre bits començant per la dreta.
De quatre bits en quatre bits
Per què s’acostumen a agrupar els nombres grans en quatre bits? Com veureu més endavant, agrupar d’aquesta manera un nombre binari ens facilitarà la tasca de convertir-lo a hexadecimal en el cas que sigui necessari.
Per exemple, un nombre tan poc llegible com
es podria escriure de la manera següent:
Fixeu-vos que, en aquest cas, el grup situat més a l’esquerra no té quatre bits sinó dos. Si voleu, podeu representar aquest grup amb quatre bits afegint a l’esquerra els 0 (zeros) que calguin:
En qualsevol cas, recordeu que el truc de separar en grups de quatre no és obligatori. Tan sols és una recomanació per facilitar-vos la tasca de treballar amb nombres binaris.
Sistema de numeració hexadecimal
El sistema de numeració hexadecimal utilitza setze dígits:
Indicació de nombre binari
De vegades, s’afegeix el subíndex 2 per indicar que un nombre està expressat en binari. Per exemple, el nombre binari 101 s’escriu 1012. També es pot indicar que un nombre és binari amb el sufix b. Per exemple, el nombre binari 101 s’escriu 101b.
El mecanisme que es fa servir per construir nombres és similar al que hem vist en el sistema decimal i binari:
- Amb una xifra podem representar 16 nombres: del 0 al F. Per representar més de 16 nombres, l’únic que hem de fer és afegir noves xifres hexadecimals a l’esquerra.
- Amb dues xifres podem representar 256 nombres: 00, 01, 02, …, 0F, 10, 11, 12, …, 1F, 20, 21, … 2F, … …, F0, F1, F2, … FF
- Amb tres xifres podem representar 4.096 nombres: 000, 001, …, 00F, 010, …, 0F0, 0F1, 0FF, …, FFA, FFB, …, FFF
- I així consecutivament.
El sistema de numeració hexadecimal també és anomenat sistema de numeració en base setze.
A la taula es representen els primers nombres decimals i la seva correspondència en hexadecimal.
| Decimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Hexadecimal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Decimal | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| Hexadecimal | A | B | C | D | E | F | 10 | 11 | 12 | 13 |