Recursos, activitats i avaluació de l’expressió i comunicació logicomatemàtica dirigits als nens i les nenes

A l’hora de fer qualsevol intervenció educativa en la primera infància, no podem oblidar que el desenvolupament saludable de l’infant es fa de manera globalitzada: no és desitjable desenvolupar estructures logicomatemàtiques oblidant altres aspectes del desenvolupament.

Sempre que planifiquem i executem accions pròpies del procés d’ensenyament-aprenentatge ens hem de plantejar quines seran les línies generals d’actuació que seguirem.

A l’hora de treballar la lògica matemàtica, ens hem de plantejar el mateix que amb qualsevol altre aspecte de coneixement. Per tant, alguns dels punts que hauríem de tenir en compte per treballar el llenguatge logicomatemàtic són els següents:

• Perspectiva globalitzadora del procés educatiu. En educació infantil no té gaire sentit treballar els diferents aspectes de la realitat de manera disciplinària, ja que l’infant entén el món com un tot.
• El procés és més important que el resultat. En educació infantil, intentem treballar la manera de fer, d’entendre quins són els processos i les relacions entre objectes, sense que tinguem com a finalitat aconseguir un resultat concret. Això no significa que hàgim de descuidar la reflexió i el control per tal de donar respostes precipitades.
• Cal crear el dubte per plantejar el conflicte cognitiu. El llenguatge logicomatemàtic ens facilita el coneixement dels atributs dels objectes i les seves relacions per acabar generalitzant característiques generals del funcionament del nostre entorn. Mitjançant la presentació de problemes que no es poden explicar amb els arguments propis de l’infant, se li presenta el dubte i la cerca d’altres possibles resolucions que fins aleshores no ha tingut en compte. Les noves respostes ajuden a reorganitzar el raonament de l’infant i a avançar cap a la concepció més real del món.
• La dificultat de les activitats augmenta segons les capacitats dels infants. S’ha descrit que la interiorització de conceptes i nocions logicomatemàtiques evoluciona amb l’infant. Amb aquesta premissa l’ordre de presentació dels diferents aspectes és d’allò concret a allò abstracte i d’allò general a allò particular.
• L’activitat és el principi del desenvolupament del pensament. Sense exploració i observació l’infant és incapaç d’arribar a representar i a abstraure posteriorment. Els primers dos anys de vida són totalment sensoriomotors i, per tant, el coneixement que pugui tenir del seu entorn dependrà, en bona part, de les experiències manipulatives de què hagi disposat.
• Les activitats parteixen de l’experiència i la manipulació directa, ús del material concret, i indirecta, representació en imatges, làmines i fitxes de l’observació, de la percepció i de la verbalització de les accions. Tan important per interioritzar els conceptes matemàtics és manipular directament com de manera representativa, pas previ per generalitzar.

La verbalització de fets i accions facilita la comprensió de conceptes i accions, i ajuda a reorganitzar el raonament.

• Les accions de la vida quotidiana com a punt de partida de les activitats logicomatemàtiques. El fet de tenir com a punt de partida allò més immediat per a l’infant i relacionar-ho amb el món matemàtic projecta la idea que la lògica matemàtica és a tot arreu i que es pot aplicar a les nostres accions diàries.
• Cal presentar les nocions en formes variades i diferents situacions perquè pugui generalitzar els descobriments. Si sempre presentem les mateixes activitats tipus es fa difícil arribar a una concepció abstracta de la realitat, ja que sempre ens quedem en l’aplicació concreta. La presentació de diferents camins per arribar a la mateixa conclusió facilita aquest procés generalitzador.
• L’activitat lúdica com a principi bàsic de relació de l’infant. L’infant es relaciona a partir del joc. Aquesta manera de fer amb l’entorn i els altres li permet conèixer els objectes i les seves relacions. Jugant el nen puja, baixa, va cap a un costat, cap a l’altre, assenyala, observa, toca, etc.
• L’educador o educadora com a facilitador/a del coneixement. L’educador o educadora ha de ser un guia del procés educatiu i no ha de donar les solucions. Cal tenir en compte la comprensió dels esquemes mentals que l’infant té interioritzats i no els de la persona adulta, i posicionar-se a partir d’aquests esquemes.
• Material ric i variat. S’ha d’escollir el material adient a les activitats presentades segons el moment maduratiu de l’infant, procurant l’intercanvi d’experiències entre els nens i nenes i reforçant l’aprenentatge amb altres llenguatges, com la parla o la plàstica. Amb el temps, el material es va especialitzant per treballar nocions i habilitats concretes, en funció del seu moment evolutiu. Escollim material de l’entorn i poc estructurat per treballar diferents accions, i estructurat per treballar aspectes concrets.

Els racons i materials específics són un recurs logicomatemàtic perquè compleixen els requisits necessaris per ser considerats com a tals.

Els recursos logicomatemàtics s’organitzen respectant l’organització d’aula, és a dir, aprofitant l’espai per racons tan propi de l’escola bressol i el parvulari.

Amb les activitats que s’hi realitzen, a partir de la manipulació, de l’observació i de l’assaig-error, l’infant coneix les característiques dels diferents objectes i les relacions que s’hi estableixen. La progressiva incorporació de nous aspectes de la realitat, per part de l’educador, fa que l’infant evolucioni en el coneixement més real del seu entorn.

La metodologia de treballar per racons facilita la transformació gradual de les diferents experiències adquirides. Passa d’una concepció concreta i dispersa de les diferents característiques i relacions dels objectes a una generalització i ordenació d’aquestes característiques a partir del raonament i el desenvolupament dels diferents llenguatges.

A continuació es presenten diferents possibles racons concrets o generals, on es treballen de manera molt específica diferents nocions i conceptes logicomatemàtics:

Amb la presentació per part nostra i la manipulació per part de l’infant dels diferents objectes també es treballen accions a fer sobre els objectes, com acostar-los o allunyar-los de nosaltres, o ficar-los i treure’ls dins d’un altre objecte. També es desenvolupa la coordinació mà-ull-boca necessària per fer tasques precises.

D’aquesta manera, es treballen els diferents atributs dels objectes i l’infant és el protagonista principal del seu aprenentatge. L’activitat finalitza amb la recollida d’objectes, moment en què es fa la classificació de material a partir d’atributs similars.

El joc heurístic ajuda a estructurar, relacionar i fixar millor els continguts a aprendre a partir de les preguntes Què és això? i Què puc fer amb això?

Amb aquest racó, els nens van manipulant els objectes, descobrint-ne les característiques, observant els canvis que es van produint i les conseqüències de les seves accions. Van realitzant descobriments constants sobre el comportament dels objectes i les lleis de la natura.

És un racó per treballar la representació i nocions i conceptes propis de la lògica heurística que facilita l’estructuració del raonament a partir d’accions en molts casos imitades dels adults.

En aquest racó l’infant investiga a partir de les característiques dels objectes i les seves relacions sobre les diferents propietats i les transformacions que poden patir, mitjançant l’observació, l’atenció i l’autonomia, fent servir tècniques del mètode predictiu i deductiu, que faciliten la generalització i l’abstracció.

En aquest racó es fan necessàries les accions de fer classificacions i ordenacions i treballar l’organització espacial. Més endavant es pot introduir l’acció de comptar.

Com que la selecció de materials es fa en funció de l’aspecte o aspectes logicomatemàtics que vulguem potenciar i desenvolupar en l’infant, la varietat pot ser molt gran.

Hi ha gran varietat de material específic en funció d’allò que vulguem treballar, però aquí ressaltarem per la seva particularitat i influència en la manera de fer de la lògica matemàtica en l’etapa d’educació infantil el material analític de Maria Montessori, els blocs lògics de Dienes i els reglets de Cuisenaire.

El material analític de Maria Montessori està pensat i dissenyat perquè l’infant, de manera autodidacta, conegui i relacioni diferents objectes a partir de la manipulació directa i l’observació i posterior discriminació d’aquests objectes.

Es tracta de presentar material seleccionat prèviament per l’educador/a que atrau els infants. Els infants realitzen exercicis espontanis repetitius amb els quals desenvolupen l’activitat sensorial per la discriminació de colors, formes, textures, temperatures, sons, etc. Aquestes activitats serveixen de preparació per observar i interioritzar els objectes i les relacions de la vida quotidiana.

El material Montessori facilita el desenvolupament de l’abstracció a partir de la generalització de les qualitats i atributs dels objectes manipulats.

Per treballar la lògica matemàtica cal destacar el material específic per treballar l’educació dels sentits i el material específic per treballar l’aritmètica i la geometria. El primer consisteix a presentar objectes tridimensionals amb diferents atributs perceptius. El segon consisteix en material per desenvolupar el càlcul, els nombres, les mesures i les figures geomètriques.

Els blocs lògics de Dienes, especialista en educació amb infants, consten de quaranta-vuit peces sòlides, de fusta o plàstic de fàcil manipulació. Cada peça es defineix per quatre variables, el color, la forma, la grandària i el grossor.

Del color s’ha de distingir entre vermell, blau i groc. De la forma cal diferenciar entre quadrat, cercle, triangle i rectangle. La grandària pot ser gran i petita, i el grossor, gruixut i prim.

Els blocs lògics serveixen per treballar diferents nocions i conceptes logicomatemàtics, com són atributs i característiques de cadascun dels blocs, comparar a partir de les similituds i diferències, fer classificacions, fer seriacions i ordenacions, introduir el concepte de nombre, comptar i identificar les figures geomètriques.

Blocs lògics ens permeten treballar aspectes bàsics de la lògica matemàtica, ens permeten descriure, identificar els objectes a partir de diferents qualitats, i a partir d’aquí crear tot tipus de relacions entre unes i les altres. Malgrat el seu gran potencial, no són gaire vàlids per fer ordenacions, atès que totes les peces juntes no presenten cap gradació (amb un mínim i un màxim), ni tampoc per fer seriacions pel fet que només es disposa d’una peça de cada.

De totes maneres hem vist que ens permet elaborar la noció de conjunt, de pertinença, fins i tot de subconjunt, la qual cosa ens permet elaborar ja la idea de inclusió, que és la relació que s’estableix entre el subconjunt i la classe de la que forma part integrant, i que a la seva vegada integra el subconjunt, considerant-se per això una classe major, essent per tant jeràrquicament superior.

Els reglets de Cuisenaire, músic i mestre, són material logicomatemàtic per treballar la composició i descomposició dels nombres i iniciar els infants en les activitats de càlcul a partir de la manipulació.

El material consta d’un conjunt de reglets de fusta de deu grandàries i colors diferents. La longitud dels reglets va d’1 a 10 centímetres i cada reglet equival a un nombre determinat, tal com es pot observar en la taula.

Amb els reglets de Cuisenaire es poden treballar els diferents aspectes logicoheurístics:

• L’associació de la longitud amb el color.
• L’establiment d’equivalències.
• La seriació numèrica d’u a deu.
• La comparació de reglets.
• La realització de classificacions i seriacions.
• La introducció a la composició i la descomposició dels nombres.
• La introducció a les operacions aritmètiques de la suma i la resta.

Els reglets de colors de Cuisenaire permeten treballar la composició i la descomposició dels nombre i permeten iniciar-nos en el càlcul. L’error que se’ls imputa és que utilitzen la longitud, una magnitud, per descobrir el valor del nombre, que com sabem mesura quantitats discretes, però la realitat és que permeten treballar la sèrie numèrica com una ordenació perfecta; prenent com a base l’1, cada nombre es igual a l’anterior de la sèrie més un, i es comprova la relació d’inclusió on en cada nombre estan inclosos els anteriors. Aquesta estructura ens permet conscienciar-nos i assajar diferents composicions i descomposicions del nombre.

Les possibles activitats logicomatemàtiques que es formulin i es presentin als infants han de tenir com a premissa l’adequació al moment evolutiu pel qual passen els nens i nenes als quals estan destinades, i han de tenir en compte la possibilitat d’execució. Les activitats amb un grau de dificultat molt elevat o molt per sota de les seves capacitats suposen desinterès i poca motivació, i no afavoreixen, per tant, el desenvolupament de la lògica matemàtica.

Es presenten una mostra de possibles activitats per treballar els diferents aspectes qualitatius i quantitatius de la realitat que es treballen en l’etapa d’educació infantil, tenint en compte que aquestes activitats s’haurien d’incloure dins d’una metodologia globalitzada del procés d’ensenyament aprenentatge Totes les activitats logicomatemàtiques han de passar per les tres fases evolutives, la manipulativa, la representativa i la d’abstracció de manera successiva per tal que els infants puguin interioritzar i generalitzar els diferents conceptes i nocions logicomatemàtiques que cadascuna d’elles treballa explícitament o implícitament.

Les diferents qualitats dels objectes són les característiques que no es poden quantificar definint-se per si mateixes. Els aspectes qualitatius són la classificació i la seriació.

Les activitats presentades han de tenir en compte que el procés d’assimilació i acomodació de l’acció passa per un primer moment de diferenciació sense seguir cap criteri sistemàtic, després passa per la diferenciació a partir d’un únic criteri i per últim per la subclassificació. En la taula es presenten possibles activitats en funció de la fase evolutiva de l’adquisició d’aquesta acció.

Les diferents fases d’assimilació i acomodació passen per un primer moment en què se segueix un ordre arbitrari, un segon moment que segueix un ordre lògic ordenant matisos d’una mateixa qualitat i un tercer moment en què es fan classificacions i ordenacions a partir del criteri establert.

En la taula es presenten possibles activitats en funció de la fase evolutiva de l’adquisició d’aquesta acció.

Les diferents característiques quantitatives dels objectes són les que es poden comptar i per tant ordenar. Els aspectes quantitatius treballats en l’etapa d’educació infantil són la mesura, el càlcul i l’espai i la geometria.

La mesura s’obté a partir de la comparació entre objectes establint les correspondències més o menys que i tant com. Depenent de l’atribut que mesurem l’infant comença a generalitzar-ho tot en gran-petit, molt-poc. Més endavant s’inicia en la utilització de mesures relatives.

Independentment de l’atribut que mesurem, el procés evolutiu té un primer moment en què es fan mesures a partir de la comparació i l’ordenació directa entre objectes i un segon moment en què es fan a partir de la comparació i ordenació entre un objecte i una unitat de mesura igual per a tothom.

En la taula es presenten possibles activitats en funció de la fase evolutiva de l’adquisició d’aquesta acció.

Les propostes de treball a la llar d’infants tindrien a veure amb les que hem fet en parlar d’ordenació. És bo presentar dos objectes i que el concepte aparegui com a resultat de la comparació directa (llarg-curt; ample-estret; gran-mitjà-petit; feixuc-lleuger; buit-ple). Cal, però, tenir clar que quan parlem de mesura volem anar una mica més enllà i arribar a quantificar la llargada.

Per treballar aspectes temporals, es poden proposar un seguit d’activitats: saludar segons el moment del dia; diferenciar el dia de la nit per la llum solar; formular preguntes sobre accions successives que s’hagin fet a classe o sobre algun conte que s’hagi explicat: què feia la Caputxeta abans de trobar-se amb el llop? On va anar la Caputxeta després de trobar-se amb el llop? Etc.

La capacitació i l’aprenentatge de la mesura passa (igual que amb el nombre, que no és més que una magnitud) pel següent:

1. Identificar i reconèixer. El primer que cal en el domini magnitudinal és saber discriminar i diferenciar la magnitud en qüestió. Per exemple, entendre la longitud, significar, saber diferenciar-la del pes, o del volum… Podem, doncs, comparar de manera directa, el pes de diferents materials, identificar el nen més alt d’un grup, identificar entre un conjunt l’ampolla més plena…
2. Relacionar. Cal identificar la magnitud, però alhora mesurar un objecte implica comparar la magnitud respecte a una unitat que no és més que una altra magnitud. Entre diferents propostes: ordenar les nines russes (volum), fer grups d’ampolles, fer un grup amb les ampolles on cap més d’un litre i amb les ampolles on cap menys d’un litre, ordenar les vares vermelles de Montessori o ordenar-ne algunes (longitud), etc.
3. Operar. Cercar el valor magnitudinal de la mesura necessita la capacitat operativa de la igualació, o el fet d’acumular additivament parts que actuen d’unitat, per arribar a ser igual a la magnitud de mesurar. Per exemple, els infants han de trobar, entre un grup de vares, les que, juntes, tinguin la mateixa longitud que la més llarga; equilibrar una balança, per exemple, col·locar el pes d’un quilo en el braç d’una balança i demanar que busquin dos aliments que junts pesin aquest quilo; omplir ampolles de dos litres amb ampolles de litre, etc.

Quan treballem el càlcul, implícitament, apareixen una sèrie de conceptes i nocions logicomatemàtics necessaris en l’acció de comptar. Aquests conceptes són els següents:

• L’aspecte de la qualitat i quantitat fa referència a l’adquisició del nombre cardinal a partir de la classificació i del nombre ordinal a partir de l’ordenació dels elements respecte al total d’una agrupació. La idea fonamental és que el tot és més que les parts.
• La conservació de quantitats fa referència a l’adquisició d’equivalències entre quantitats d’objectes d’agrupaments. Tot i que el nombre d’objectes d’un agrupament es modifiqui, els objectes no desapareixen sinó que canvien d’agrupament.
• La noció de quantitat fa referència a l’establiment de correspondències terme a terme entre diferents objectes. S’estableixen les relacions tants com, més que i menys que.
• La noció de nombre fa referència a la identificació de l’etiqueta corresponent al concepte de la quantitat d’objectes a què es refereix. No és una simple memorització de la sèrie numèrica.
• La noció de conservació de nombre fa referència a la introducció de les operacions aritmètiques, suma i resta, que són accions, l’addició i la subtracció, que modifiquen una quantitat donada. Es tracta d’aplicar la formulació Quants objectes hi ha? Què fem? Posar-ne o treure’n? i quants objectes hi haurà? En la taula, més endavant, es presenten possibles activitats per treballar el càlcul en funció de la fase evolutiva de l’adquisició d’aquesta acció.

La finalitat principal en la nostra funció educativa a l’escola bressol és tenir els coneixement necessaris i les estratègies adequades per reconèixer els aspectes quantitatius que hi ha implícits en cada activitat, per així poder-los explicitar i ajudar l’infant a comprendre’ls i interioritzar-los. En aquest nivell les nocions i els conceptes que es van introduint tenen a veure amb els quantificadors principals (molts, pocs, tots, algun, cap…) i les quantitats elementals (un, dos, tres…) i, en definitiva, el que li aportarà un sentit numèric adequat a l’edat que té.

En el cas dels més petits, en una de les activitats tan generalitzada per a aquest cicle i aquest nivell com és la panera dels tresors, podem observar com els nens experimenten amb aquests conceptes. Alguns infants agafaran molt objectes, altres pocs, altres els agafaran de dos en dos. Podria ser interessant que l’educadora en aquest nivell pogués verbalitzar aquests fets en acabar l’activitat. Més endavant, amb el joc heurístic, ja podrem observar les verbalitzacions que van fent els infants, entre les quals poden aparèixer elements de tipus quantitatiu “mira, jo en tinc més; en vull dos; no n’hi ha cap dins del pot; l’Albert les té totes;” etc.

Les diverses possibilitats per fer activitats amb un component important d’aspectes que quantifiquen la realitat a la llar d’infants són les següents (Alsina, 1999):

• A partir de la vida quotidiana.
• A partir de material inespecífic.
• A partir de jocs dissenyats didàcticament.

En el treball que cal dur a terme al parvulari s’estableix que els nens i les nenes d’educació infantil haurien de conèixer les quantitats fins al 9, tot i que cal considerar que la realitat dels infants és plena de nombres, i per això sovint poden superar aquest nivell de coneixement. Les activitats en aquest nivell ja es podran estructurar amb els tres grans grups que havíem exposat en la presentació:

• Identificar, definir o reconèixer quantitats. Dins d’aquest apartat, les propostes pretenen que l’infant observi els aspectes quantitatius de l’entorn que l’envolta i que manipuli i experimenti amb diferents quantitats d’elements. Es considera també important la representació de les quantitats treballades amb diferent símbols no convencionals, llegir nombres a partir dels símbols convencionals i finalment iniciar-se en l’escriptura de les grafies dels nombres dígits.
• Relacionar quantitats. Les mateixes activitats que ens han permès relacionar qualitats sensorials ens permetran relacionar els aspectes quantitatius. Les relacions entre conjunts “construeix una agrupació que tingui menys element que una de donada”; les correspondències quantitatives “a cada nen li correspon un paraigua”; les ordenacions aplicades a les quantitats, que com sabem és un element implícit dins del nombre.
• Operar quantitats. La finalitat és que els nens i les nenes de 3 a 6 anys consolidin les nocions d’afegir i treure d’una manera significativa. És un tipus de càlcul que, en definitiva, consisteix en el canvi d’un nombre per un altre a través d’una operació aritmètica. Aquestes activitats són:
  • La noció d’afegir associada a les accions d’ajuntar, unir o reunir, agrupar.
  • La noció de treure associada també a les accions de separar, agafar, amagar, etc.
  • Composició i descomposició de quantitats.
  • Inici del càlcul mental.

El fet que l’infant interactiu amb el seu entorn suposa que, de les diferents experiències espontànies, estableixi les relacions amb l’espai i conegui les diferents formes i característiques dels objectes i figures.

De l’exploració de l’espai interioritza els conceptes relacionats amb l’orientació estàtica en l’espai, l’orientació dinàmica en l’espai o direccionalitat i la distància entre objectes, tots tres primer prenent com a referència el seu propi cos i posteriorment un altre objecte.

Les nocions geomètriques bàsiques fan referència a conceptes com dimensions, obert-tancat, dins-fora, regió-frontera, línies rectes-corbes, superfície plana-corba, etc. També apareixen les figures geomètriques i els cossos geomètrics bàsics.

Amb les transformacions geomètriques observa quines propietats dels objectes no varien i quines ho fan de manera topològica, projectiva i mètrica.

En la taula es presenten possibles activitats en funció de la fase evolutiva de l’adquisició de l’espai i la geometria.

A l’escola és bàsica l’organització de l’espai classe i cal pensar quins materials faciliten aquest coneixement.

La sala dels lactants està pensada i organitzada per permetre i potenciar el moviment i l’exploració de l’entorn. El primer espai del nen o nena en aquesta etapa és el racó de la manta, un racó còmode, acollidor i amb molts objectes (el cistell dels tresors, els mòbils, els instruments, etc.) que estimulen el moviment. Amb el pas dels dies, quan l’infant de pocs mesos comença a desplaçar-se, vol descobrir allò que hi ha més enllà de la manta i aconseguir arribar fins a les cistelles de les teles o la prestatgeria dels contes, i reconèixer al final on és l’espai on dorm i el lloc on es prepara el menjar.

L’estructuració de l’aula per racons de joc facilita l’organització espacial: en el grup del més grans, el nen o la nena, quan fa un temps que és a la classe, ja sap on ha d’anar a buscar les coses.

Aquest coneixement s’amplia amb el treball de l’orientació a l’escola. Per fer-ho es proposa als nens i les nenes que facin petits encàrrecs, desplaçant-se per les diferents sales de l’escola. Aquesta activitat permet que, en algun moment, l’educador demani al nen o la nena que verbalitzi on és una sala concreta de l’escola, per saber si l’infant és capaç d’expressar-se verbalment o amb gestos.

L’ús d’algun tipus de material específic facilita l’experimentació de l’espai. Per exemple, el joc amb les caixes de cartró de diverses mides i formes permet treballar diferents experiències: ficar-se a dins, omplir caixes amb caixes petites, apilar-les fent torres o construccions complexes, enfilar-les per mides.

Al parvulari, s’acostumen a confondre el coneixement de l’espai amb la psicomotricitat i el coneixement de les formes amb l’educació sensorial.

Coneixement de l’espai

En el tractament a l’espai, cal que ens preocupem inicialment que els infants diguin el que hi ha en les posicions que els demanem: que tenen davant, o darrera, etc. I que facin realment els desplaçaments demanats: camina endavant, gira cap a la porta, etc.

També podem deixar que ho imaginin sense fer-ho realment i, si cal, immediatament podem deixar que ho comprovin. Una proposta en aquesta línia podria ser si imaginem que per anar fins a la porta han de desplaçar-se endavant i a la dreta demanar-los: “si camines endavant tot recte aniràs a parar a la porta, oi? Doncs què hauries de fer anar-hi?”, i esperar que diguin, per exemple, “girar”, i sabrem que han imaginat el recorregut.

Una altra cosa que cal fer és representar aquests desplaçament a la pissarra i que els infant els llegeixin i interpretin. Després els podem demanar que facin l’itinerari dibuixat a la pissarra sense necessitat de dir-ho amb paraules. Si els infants s’acostumen a aquests exercicis, aprofitant una sortida podríem marcar en un plànol el recorregut fet des de la sortida fins a tornar a l’escola.

En aquest tipus de treball, és important ajudar els infants a trobar punts de referència que tots coneguin. Sovint, és més fàcil explicar que s’ha anat per la vorera fins a arribar al semàfor, s’ha travessat el carrer, i s’ha seguit en direcció a la plaça, que explicar-ho en termes d’anar endavant, girar a la dreta o a l’esquerra. Trobar punts de referència és una cosa que les persones adultes utilitzem constantment i que ells han d’anar aprenent a fer.

Coneixement de les formes

El que ens interessa és conèixer les formes de la realitat i no només els models geomètrics que les representen. En la realitat les formes no són tan perfectes com en el models. Parlarem, doncs, de formes que s’assemblen al rectangle o a la rodona en lloc de dir que una cosa és rodona o rectangular.

Les propostes sempre seran descriure figures, comparar-ne o buscar-ne que tinguin una característica determinada. Haurem de procurar que progressivament vagin parlant amb més precisió. Per exemple, es pot comparar una post amb una capsa i, encara que totes dues siguin rectangulars, veuran que l’una és plana i l’altra no; direm que la primera és una superfície i la segona és un volum.

Ens interessa utilitzar vocabulari progressivament més precís, no en el sentit de recordar aquests noms sinó de distingir les diferències entre uns conceptes i uns altres.

El joc de descriure i comparar objectes pot tenir moltes aplicacions: podrem trobar línies, superfícies i volums, objectes oberts i tancats, polièdrics i curvilinis, regulars i irregulars.

És molt recomanable fer l’exercici de descriure un objecte que no es pot veure i que el presentem amagat dins d’una bossa opaca que es permet tocar. Aquest tipus d’exercici aguditza la imaginació i es potencia molt la representació mental de les formes.

Amb les formes es poden fer transformacions i generar-ne de noves, girant-les, repetint-les o descomponent-les. Per exemple, amb fustes en forma de triangle es poden fer combinacions de tal manera que amb quatre es formi un quadrat, o bé es poden encarar fent un triangle més gros i repetir-lo formant sanefes, o es poden fer casetes, etc.

Reproduir models de construccions o de jocs formats per peces semblants a les del tangram és un tipus de treball que està a cavall entre la situació a l’espai i la transformació geomètrica. Les construccions tenen un valor incalculable en el treball geomètric perquè obliguen a fer formes en tres dimensions. Ara bé, si demanem als infants que copiïn un model i han de pensar que la peça de color verd va a dalt i la vermella a baix i que la que hi ha al mig és més petita que les altres, etc., això comporta una anàlisi molt més aprofundida i afegeix aspectes de reconeixement de característiques i de situació a l’espai que interessa molt potenciar.

La geometria és una ciència abstracta i l’infant no arriba a tenir una veritable “abstracció” fins a l’adolescència. Per preparar-lo perquè l’adquireixi s’ha de practicar una geometria intuïtiva i concreta, que no és res més que el coneixement progressiu de l’espai que l’envolta, basat en la pròpia experiència; des del primer moment de vida, l’infant es troba immers en l’espai.

Per intentar comprendre una mica millor en què consisteix aquest coneixement que té l’infant de l’espai, podem fixar-nos en Piaget. Segons ell, el que és realment important és que l’infant construeixi un esquema i una imatge mentals de l’espai, més que no pas que aprengui uns coneixements transmesos per les persones adultes. Aquest esquema, que Piaget anomena representació, hauria d’estar totalment assolit a l’adolescència i és anterior a altres conceptes abstractes que vindran amb l’adolescència.

Si seguim Piaget, l’infant passa per dos períodes per construir la seva representació mental de l’espai:

Període sensoriomotor, dels 0 als 2 anys

Fins als 2 anys, l’infant va adquirint la capacitat de situar totes les coses a l’espai en relació amb ell mateix, amb el propi cos. És la capacitat d’orientació espacial. Al mateix temps, aquest període es defineix per la característica que el coneixement de l’espai que té l’infant no només es basa en la motricitat i la percepció sensorial, sinó que es limita a aquest nivell i no passa més enllà, és a dir, encara no es produeix una imatge mental de l’espai.

En aquest sentit, doncs, podríem dir que en aquesta edat encara no parlem de geometria, tot i que aquesta experiència motora i sensorial n’és la base.

Període representatiu, dels 2 als 15 anys

Aquest període es caracteritza per la construcció de la representació mental de l’espai. És una tasca llarga que es va fent a poc a poc i de manera complexa.

Aquesta interiorització, punt de partida de l’esquema mental, continua fent-se a partir de la percepció sensorial i de la motricitat; però la novetat és que ara l’infant comença a crear una imatge, que és com una petjada d’allò que ha conegut sensorialment; ens trobem a mig camí entre la percepció pura i el concepte, que vindrà més tard.

Podríem resumir, doncs, tot el procés que fa l’infant durant aquest període dient que es tracta d’anar interioritzant les experiències de l’espai, realitzades a nivell sensoriomotor, per incorporar-les a la imatge o esquema mental de l’espai.

Però en aquest procés, les diverses relacions espacials i propietats geomètriques experimentades es van interioritzant d’una manera progressiva: a partir dels 2 anys l’infant comença a interioritzar (“gravar” en el seu esquema mental) les nocions topològiques, que són les més fàcils, mentre que totes les altres, les capta a un nivell sensoriomotor. A partir dels 5 anys, aproximadament, comença a interioritzar les nocions projectives; i una mica més tard, la de la distància i angle (mètriques), coincidint, naturalment, amb l’adquisició de les nocions de mesura.

Aquesta progressió és la que ens ha d’ajudar a formular un programa coherent amb el procés mental de l’infant.

Però cal tenir en compte un aspecte d’aquesta qüestió que podria portar-nos a confusió: tal com hem dit abans, quan l’infant ja té assumides a nivell d’imatge mental les propietats geomètriques més senzilles, no deixa d’experimentar constantment totes les altres més difícil (per exemple mètriques) a nivell sensoriomotor. Aquesta superposició dels dos nivells de coneixement constitueix un fenomen molt complex que sovint ens enganya i ens dificulta la comprensió del que està passant en el progrés de l’infant. Així, per exemple, un infant de 3 anys distingeix les formes de les figures (com els blocs lògics de Dienes); aquesta distinció, que només pot fer-se per criteris projectius i mètrics, podria fer-nos pensar que l’infant ja capta què és un polígon…; ho capta només sensorialment, mentre que representativament està encara molt lluny de distingir una línia recta d’una corba. El grau de maduresa del nivell representatiu es reflecteix perfectament en el dibuix, en el qual l’infant expressa totes les relacions espacials que fins aquell moment ha ingressat a la seva imatge mental (començant per “l’esquema corporal”). Aquesta gran complexitat pel que fa al procés de l’infant en el coneixement de l’espai no és aliena a la dificultat que des de sempre ha plantejat la didàctica de la geometria.

Pròpiament parlant, direm que fem geometria quan fem activitats encaminades a desenvolupar el coneixement de les propietats i les relacions geomètriques representatives, és a dir, en l’àmbit de formació d’esquema mental. Però hem de tenir en compte que en una mateixa activitat de treball, tal com passa en la vida corrent, sovint conflueixen diverses nocions geomètriques, i mentre que unes són captades per l’infant en aquest nivell representatiu que ens interessa, les altres també les capta en un nivell sensorial; el fet que no les tinguem en compte en el programa no vol dir que siguin menys reals o menys importants.

Relació de la geometria amb les altres àrees de coneixement

En les primeres edats la geometria no és altra cosa que un aspecte més de la descoberta del medi, ja que l’espai és el primer medi natural de l’infant. Per tant, és inseparable del desenvolupament global de l’infant, de la seva capacitat d’observació i d’expressió, de l’adquisició del seu llenguatge i de la maduració de totes les seves facultats.

Però les àrees que més destaquen per la relació que tenen amb la geometria són: d’una banda, l’educació sensorial i, de l’altra, de manera molt especial, la psicomotricitat i l’expressió plàstica.

Efectivament, la motricitat no només és per a l’infant la font del coneixement de l’espai durant els primers anys de la seva vida i, per tant, la base de tot el coneixement posterior, sinó que és l’activitat que està en joc en el moment de fer el pas d’interiorització i, per tant, de construcció de la imatge mental. L’infant, per interioritzar l’espai, es recolza en el que veu, però sobretot es recolza en els seus moviments. Per desplaçar-se, necessita un primer esquema mental de l’espai; el desplaçament l’obliga a coordinar totes les altres sensacions (visuals, tàctils…) en una acció conscient; i amb l’experiència feta enriqueix l’esquema mental anterior, incorporant-hi les propietats geomètriques experimentades per mitjà dels seus desplaçaments; per exemple, seguir una línia caminant per veure si és oberta o tancada, si és recta o corba… I això és així no només durant l’etapa infantil, sinó també en el cicle inicial, i fins i tot més endavant, cada vegada que es tracta de descobrir una nova noció.

Al mateix temps, en aquesta descoberta de l’espai necessitem l’expressió plàstica, primer per indicar a l’infant els desplaçaments que ha de fer (línies dibuixades a terra…), i immediatament després perquè representi el que ha fet. Aquesta representació plàstica, en volum o en dibuix, és molt important perquè és inseparable de l’acte mateix d’interioritzar l’acció duta a terme; és l’expressió que fixa la imatge. A tots els nivells, un concepte no està ben adquirit si no som capaços d’expressar-lo; una noció geomètrica no està integrada a l’esquema mental de l’infant si aquest no és capaç de concretar-la en una realització plàstica (en volum o dibuix) que l’expressi.

Tot el que acabem de dir és incompatible amb la plàstica tradicional de la geometria, que consisteix a presentar als infants figures dibuixades en un llibre o la pissarra, per “ensenyar-los” què són i demanar-los que n’aprenguin el nom de memòria. Avui la geometria només es pot concebre com una matèria viva, dinàmica per naturalesa, que a l’escola s’ha de practicar de manera inseparable de les activitats de moviment i d’expressió plàstica, i no amb els nens i les nenes ben asseguts a la classe, davant de la taula, sinó en una situació que els permeti moure’s per descobrir l’espai en tres dimensions i de treballar diversos tipus de materials per plasmar en volum o en paper allò que van descobrint.

En aquest procés els infants fan exercicis de dos tipus: exercicis de “reconeixement”, en els quals segueixen línies o figures amb els seus moviments, o les troben en dibuixos i en la realitat, tot “reconeixent-ne” les propietats; i exercicis de “fer o construir”, en els quals ja són ells mateixos els qui construeixen les línies o figures, tenint en compte unes propietats ja conegudes. Només si arriben a aquest segon pas podem dir que realment han après una noció geomètrica.

Esdevé clau en el procés d’ensenyament-aprenentatge com intervé en aquest procés l’educador o l’educadora, ja que si no es respecten determinats aspectes no s’està ajudant a aprendre matemàtiques. El procés és el següent:

1. En primer lloc, cal tenir consciència que hi ha moltes situacions d’aprenentatge que es donen en el marc informal o en situacions quotidianes. Per exemple, en qualsevol situació quotidiana de l’escola es poden produir situacions que acostumen a ser espontànies per a l’infant i que l’adult ha d’analitzar i aprofitar des d’un punt de vista educatiu. Per exemple, abans de distribuir els coberts, es pot aprofitar aquest moment per fer notar que els coberts estan classificats: les culleres estan totes juntes en un lloc, els ganivets en un altre, etc. És important que a l’escola s’aprofitin aquestes situacions pel que tenen de significatives i que els educadors o educadores considerin que en aquestes situacions també estan “educant”. “Sabem que només quan l’infant és el protagonista en l’aprenentatge aquest esdevindrà significatiu”.
2. Treballar a partir de propostes globals, la qual cosa exigirà que l’ensenyant tingui més clar que mai quin tipus de continguts ha de treballar i quina progressió de dificultats ha de seguir, tant per aprofitar les situacions que surten espontàniament com per anar comprovant que surtin tota mena de propostes. Com que en aquests casos amenaça el perill que no s’avanci prou en cada un dels fronts, globalitzar sempre exigirà de l’ensenyant una tasca de planificació i d’avaluació seriosa que garanteixi el progrés.
3. És important plantejar sempre les coses per aconseguir que sigui l’infant qui pensi, és a dir, qui faci les relacions i les expressi. Les intervencions de la persona adulta hauran d’anar encaminades a fer preguntes, a proposar solucions convidant l’infant a escollir-ne, a confrontar solucions preses per diversos infants. La verbalització és imprescindible en aquest procés, ja que serveix, d’un costat, com una invitació a fer activitat mental i, de l’altre, esdevé una de les poques maneres de conèixer què passa pel cap de cada nen o nena, com pensa, com relaciona, com comprèn les coses, i això és diferent per a cadascú.

L’avaluació és una eina de seguiment i de coneixement que forma part del procés educatiu i és de vital importància per intentar millorar les intervencions educatives que duem a terme amb els infants.

És important que l’avaluació sigui tan sistemàtica com sigui possible i que alhora permeti determinar el grau en què s’han assolit els aprenentatges previstos en la programació i adaptar la intervenció educativa a les característiques dels infants.

Per poder dur a terme l’avaluació a l’escola infantil, disposem de diferents instruments i tècniques però possiblement el més interessant per a aquestes edats és l’observació.

L’observació és una de les eines més importants en l’avaluació de les activitats de l’escola infantil. M. Teresa Anguera defineix l’observació com:

L’observació, com tot procés d’avaluació, ha de ser rigorosa i sistemàtica per poder comprendre si el comportament dels infants es deu als seus aprenentatges i poder anar modificant la transmissió dels continguts, si és necessari.

Els educadors i les educadores han de ser persones amb una actitud receptiva i hàbils a l’hora d’interpretar els comportaments que observen, ja que aquests estan influenciats tant pel seu desenvolupament, com la seva personalitat i les peculiaritats de la situació personal i social en què es dóna la conducta.

Per tal de garantir la màxima objectivitat i que hi hagi les mínimes distorsions en la recollida i la interpretació de la informació, és important utilitzar taules d’observació on es defineixin de manera clara els indicadors o les conductes que volem observar. És important que l’equip educatiu hagi consensuat prèviament aquests indicadors.

L’observació dins de l’àmbit educatiu ha de presentar les característiques següents:

• No ha d’interferir en els comportaments espontanis dels infants i no ha de canviar les tasques habituals i quotidianes dels infants.
• No només s’ha de registrar allò que els infants saben o no saben fer, sinó que també s’ha d’observar comportaments que indiquin el motiu de per què pot o no pot fer o sap o no sap fer alguna cosa.
• S’observen les circumstàncies en les quals el nen o la nena troba més dificultats i en quines no.
• És una activitat sistemàtica i intencional. L’educador ha de seleccionar les dades que vol observar, ja que és impossible recollir tot el que succeeix a l’aula.
• Una bona observació ens servirà per proposar les activitats d’aprenentatge més adequades en cada circumstància.
• Es fa durant tot el procés d’aprenentatge i no tan sols al principi i al final; per tant, és una activitat continuada i global.
• Una bona observació inclou totes les àrees d’ensenyament-aprenentatge definides pel currículum d’educació infantil.
• Les dades han de ser precises i tan detallades com sigui possible sobre les situacions en les quals s’han registrat.
• És una activitat planificada i l’educador és quin programa, què, com i quan observarà i registrarà les informacions.
• Les dades han de ser consistents, és a dir, sobre fets, comportaments o actituds rellevants i continuades i no sobre circumstàncies ocasionals.

Per exemple, si observem una classificació d’un únic criteri on cal descobrir l’atribut rodó sobre diferents objectes, podríem utilitzar una graella d’observació del tipus de la mostrada en la taula.

Si volguéssim observar la realització de sèries d’ordre lògic, utilitzaríem una graella del tipus mostrat en la taula.