Els problemes on es presenta un producte cartesià són similars al de l'exemple 1 de la pràctica anterior.

Recorda que en aquest exemple 1 ens deixaven triar entre 3 primers plats, 2 segons i 4 postres, i volíem saber de quantes formes diferents els podem escollir per fer un menú de 1r plat, 2n plat i postre.

Desprès de construir l'arbre de possibilitats, varem arribar a la conclusió de que, com que per a cadascun dels 3 primes plats, podíem escollir 2 segons plats i després, escollir entre 4 postres, el nombre totals de possibilitats era 3·2·4 = 24.

Per tant podem arribar a la conclusió de que en un problema on hem de triar entre m objectes, després entre n objectes, després entre p objectes ... i així fins a triar entre s objectes, el nombre total de possibilitats d'elecció serà el producte m·n·p· ... ·s

1a tria		2a tria		3a tria	···	Última tria		Total de possibilitats
m objectes		n objectes		p objectes		s objectes		m·n·p· ... ·s

L'exemple 5 i l' exemple 6 de la pràctica anterior són dos casos més on s'ha d'aplicar la fórmula del totals de possibilitats m·n·p· ... ·s d'un producte cartesià.

Recorda que a l'exemple 5 ens deixaven escollir entre 4 camises i 3 pantalons, i el nombre de possibilitats de vestir-se eren 4·3 = 12. A més a més, a l'exemple 6 ens deixaven escollir entre 2 jaquetes, i el nombre total de possibilitats eren 4·3·2 = 24.

Exemple per practicar:

Els problemes on es presenten variacions amb repetició són similars a l'exemple 4 de la pràctica anterior.

Recorda que en aquest exemple 4 teníem 3 tampons amb les lletres a, m i u, i volíem saber quantes paraules de 3 lletres podíem estampar amb aquests 3 tampons, tinguessin o no significat i podent usar un mateix tampó més d'una vegada en la mateixa paraula.

Desprès de construir l'arbre de possibilitats, varem arribar a la conclusió de que, com que podien usar cadascun dels 3 tampons 3 vegades, una darrera l'altra, el nombre totals de possibilitats era 3·3·3 = 3³ = 27.

Cadascuna de les ternes ordenades a-a-a, a-a-m, a-a-u, .... fins a u-u-u, que pots veure a l'arbre, s'anomena variació amb repetició de les 3 lletres a, m i u agafades de 3 en 3.

Si només uséssim 2 vegades els 3 tampons, hauríem de multiplicar només dues vegades per 3 i el nombre de possibilitats es reduiria a 3·3 = 3² = 9; cadascuna seria una variació amb repetició de les 3 lletres a, m i u agafades de 2 en 2.

I si uséssim els 3 tampons 4 vegades, el nombre de possibilitats seria 3⁴ = 81; hi ha per tant, 81 variacions amb repetició de les 3 lletres a, m i u agafades de 4 en 4.

El problema de determinar les variacions amb repetició de m elements u objectes agafats de n en n consisteix en triar un objecte entre m objectes, tornar-ne a triar un entre els mateixos m, tornar-ne a triar un ... i repetir aquest procés n vegades. Això es visualitza en un arbre on de cada branca surten m branques n vegades, i el nombre total de possibilitats és m·m· ... (n vegades) ... ·m = mⁿ (a l'exemple 4, de cada branca en surten 3 perquè m = 3, i hi ha 3 columnes de branques perquè també n = 3).

1a tria		2a tria		3a tria	···	Tria n		Total de possibilitats
m objectes		m objectes		m objectes		m objectes		m·m· ... ·m = mn

S'acostuma indicar amb , o amb VR_m,n, el nombre de variacions amb repetició de m elements agafats de n en n, que, com s'ha vist, val mⁿ:

Les variacions amb repetició que acabem d'estudiar tenen la característica de que els objectes o elements que apareixen a cada variació poden repetir-se, és el cas de les lletres de l'exemple 4; seguidament veurem què passa quan no es poden repetir objectes o elements.

Els problemes on es presenten variacions sense repetició, o simplement variacions, són similars al de l'exemple 2 de la pràctica anterior.

A l'exemple 2 disposàvem de 4 llapis de colors diferents, volíem fer dibuixos de 3 franges verticals, cada franja d'un sol color i sense repetir cap color, i ens preguntàvem quants dibuixos diferents podríem fer.

Aleshores, i es veu perfectament a l'arbre, en quan hem escollit un dels 4 colors per a la 1a franja, com que els colors no es poden repetir, només poden escollir entre 3 per a la 2a franja; i un cop escollit un dels 3 per a la 2a franja, només podem escollir entre 2 per a la 3a. En conseqüència, ens quedaven 4·3·2 = 24 dibuixos possibles (enfront dels 4³ = 64 dibuixos possibles si s'acceptés repetir colors).

L'exemple 2 ens dona la idea de quina serà la fórmula del nombre de variacions sense repetició de m objectes agafats de n en n, que expressarem amb , o amb VR_m,n: hem d'anar multiplicant m pel nombre anterior a m, que és m-1, pel nombre anterior a l'anterior a m, que és m-2, per l'anterior a l'anterior a l'anterior, que és m-3 .... i així n vegades.

1a tria		2a tria		3a tria	···	Tria n		Total de possibilitats
m objectes		m-1 objectes		m-2 objectes		m-(n-1) = m-n+1 objectes		m·(m-1)·(m-2)· ... ·(m-n+1)

Exemple per practicar:

Les permutacions de m elements coincideixen amb les variacions sense repetició dels m elements quan s'agafen de m en m, és a dir quan s'agafen tots els elements.

L' exemple 8 de la pràctica anterior és un cas de permutacions. Es tractava de veure de quantes formes diferents es podien escriure els tres noms G del gat, O de l'ocell, i T de la tortuga (sense repetir-los).

L'exemple 8 és un cas de permutacions de 3 elements. Aleshores, un cop s'ha escollit un nom entre 3 per al primer lloc, només es pot escollir entre 2 per al segon, i només en queda 1 per al tercer; en conseqüència, el nombre total de possibilitats és 3·2·1 = 6.

Ja es veu que la fórmula que que ens dona el nombre de permutacions de m elements, que s'indica P_m serà anar multiplicant m per l'anterior, per l'anterior a l'anterior ... fins a arribar a multiplicar per 1.

1a tria		2a tria		3a tria	···	Última tria		Total de possibilitats
m objectes		m-1 objectes		m-2 objectes		1 objecte		m·(m-1)·(m-2)· ... ·1

El producte d'un nombre m per tots els anteriors fins a arribar a 1 s'anomena factorial de m i s'indica m!.

Recordeu que a l'exemple 3 hem descomptat els còctels obtinguts al barrejar dos sucs que ja s'havien barrejat en ordre diferent.

Si tenim m objectes i els seleccionem de n en n sense repetir-ne cap, però no ens interessa l'ordre en que es seleccionen (o dit d'una altra manera, considerem iguals dues o més seleccions dels mateixos n elements per posats en diferent ordre), direm que hem fet combinacions de m elements agafats de n en n.

El nombre de combinacions de m elements agafats de n en n s'indica  , després veurem com es calcula.

En el cas de l'exemple 3, hem fet les combinacions de 4 elements agafats de 2 en 2, i en el cas de l'exemple 7, els periquitos, hem fet el mateix; en el dos casos, el nombre de combinacions ha estat 6. Tenim, per tant, = 6

Observeu que si multipliquem el nombre de combinacions de 4 elements agafats de 2 en 2, que és 6, pel nombre de permutacions de 2, que és 2! = 2·1 = 2, obtenim 6·2 = 12 que és precisament el nombre de variacions sense repetició de 4 elements agafats de 2 en 2:

· P₂ =

equació que ens hagués permés calcular    a partir de   i de P₂ :

De la mateixa manera, si multipliquem    per   obtindrem  :

·  =  

equació que ens permet calcular    a partir de   i de :

Per exemple, per calcular el nombre de combinacions de 5 elements agafats de 3 en 3, has de fer el següent càlcul:

A l'hora de resoldre problemes de combinatòria, heu de tenir en compte el següent:

1) Si tracta d'uns conjunts diferents d'objectes i es busquen les maneres diferents de formar col·leccions amb un element de cada conjunt, aleshores es tracta d'un problema de producte cartesià.

2) Si es tracta d'un sol conjunt i es volen fer col·leccions d'elements d'aquest conjunt, és tracta d'un problema de variacions, permutacions o combinacions. Per decidir de quit tipus és, us heu de fer la següent pregunta:

   Importa l'ordre dels elements de la col·lecció?

• Si SÍ que importa l'ordre, aleshores us heu de preguntar:

Intervenen en cadascuna de les col·leccions tots els elements del conjunt?

• Si la resposta és SÍ, es tracta d'un problema de permutacions
  
  
• Si la resposta és NO, es tracta d'un problema de variacions, que serà:

     - Amb repetició, si es poden repetir elements en una mateixa col·lecció

     - Sense repetició, si no es poden repetir

• Si NO importa l'ordre de la col·lecció, es tracta d'un problema de combinacions