• Els elements del conjunt que hauran d’aparèixer en cada configuració
• L’ordre dels elements en les configuracions

Disposem de diversos mètodes per calcular el nombre total d’agrupacions possibles:

• Els diagrames d’arbre
• Les taules
• Les fórmules combinatòries

En aquesta pràctica estudiarem els diagrames en arbre i les taules, deixant per a la pràctica següent les fórmules combinatòries.

Exemple 1

En un restaurant ens deixen triar entre 3 primers plats, 2 segons i 4 postres. Volem saber de quantes formes diferents els podem escollir per fer un menú de 1r plat, 2n plat i postre.

Podem escollir entre 3 primers plats; per a cada primer plat, poden escollir entre 2 segons; i per a cada segon, poden escollir entre 4 postres. Podem fer el recompte de la manera següent:

Suposem que els 3 primers plats són: a, b i c Suposem que els 2 segons plats són: d i e Suposem que els 4 postres són: f, g, h i i i fem el diagrama en arbre següent:

En aquest arbre, de cadascuna de les 3 branques inicials, en surten 2 branques i, de cadascuna d'aquestes 2, en surten 4. Per tant, hi haurà, encara que no les dibuixem totes, 3·2·4 = 24 branques finals, que vol dir que hi haurà 24 menús possibles.

I si un segon plat no ens ve de gust i un postre tampoc, quants menús podem triar?

Suposem que:

• El 2n plat que no ens ve de gust és el e
• El postres que tampoc ens ve de gust és el i

Per fer tots els menús possibles, fem l'arbre:

que ens diu que el ara hi ha 3·1·3 = 9 menús possibles.

Exemple 2 Disposem de 4 llapis de colors diferents: vermell, verd, blau i groc. Volem fer dibuixos de 3 franges verticals, cada franja d'un sol color i sense repetir cap color, quants dibuixos diferents podrem fer? En aquest cas, l'arbre que hem de construir es:

que ens diu que hi ha 4·3·2 = 24 dibuixos possibles.

Exemple 3 Disposem de 4 sucs de fruites: maduixa, préssec, raïm i taronja. Els volem barrejar de 2 en 2 per fer diferents còctels de fruites (sense alcohol, eh?). De quantes maneres diferents ho podem fer?

Comencem per construir un arbre similar als arbres dels exemples anteriors:

però ara hi ha barreges de sucs que es repeteixen (és el mateix barrejar maduixa amb préssec que préssec amb maduixa, per exemple) i cal eliminar-les; són les barreges que apareixen tatxades amb una ratlla vermella. La conclusió és que només hi ha 6 maneres diferents de fer còctels.

Exemple 4 Tenim 3 tampons amb les lletres a, m i u. Volem saber quantes paraules de 3 lletres podem estampar amb aquests 3 tampons, tinguin o no significat. Completeu vosaltres l'arbre (tingueu en compte que es pot usar el mateix tampó més d'una vegada en la mateixa paraula i que s'ha de tenir en compte l'ordre amb que s'utilitzen els tampons):

Ara veurem com es pot obtenir el conjunt de possibilitats a partir de taules. En el cas que en cada configuració possible hi apareguin només dos elements del conjunt, es podrà construir una taula de doble entrada. Si els elements que hi apareixen en cada possible agrupació són tres, s’hauran de construir dues taules de doble entrada; la segona es confeccionarà a partir de les agrupacions obtingudes en la primera.

Exemple 5 De quantes maneres diferents em puc vestir si hem d’escollir només una camisa i uns pantalons entre 4 camises i 3 pantalons? Com al cas dels arbres comencem per posar noms a les camises a la pantalons: Siguin c1, c2, c3 i c4 les 4 camises Siguin p1, p2 i p3 els tres pantalons Construirem la taula de doble entrada següent (4 files per 3 columnes):

que ens diu que ens podem vestir de 4·3 = 12 maneres diferents.

Exemple 6

De quantes maneres diferents em puc vestir si ara, a més d’haver d’escollir una camisa i uns pantalons entre 4 camises i 3 pantalons (cas anterior), també escollirem una jaqueta entre 2?

• Suiguin ara j1 i j2 les dues jaquetes

Construirem una segona taula de doble entrada (12 files x 2 columnes) a partir dels resultats anteriors:

i aquesta taula em diu que ara em puc vestir de 12·2 = 24 maneres diferents.

Exemple 7 Dins una gàbia hi ha 4 periquitos: un de blau, un de verd, un de groc i un de blanc. Com que la gàbia és petita i hi ha masses periquitos, en volem treure 2 per passar-los a un altra gàbia. De quantes maneres diferents podem fer la selecció dels 2 periquitos que volam treure? La taula que esquematitza aquest problema és:

on es veu que hi ha opcions impossibles tatxades amb una ratlla horitzontal (perquè, per exemple, no és possible treure dos periquitos blaus) i opcions repetides i que no cal comptar dues vegades que s'han tatxat amb una ratlla inclinada (per exemple, és el mateix treure un de blau i un de verd que un de verd i un de blau).

Aquesta taula ens diu que l'extracció de dos periquitos només es pot fer de 6 formes diferents.

Exemple 8 A casa tenim tres animals: un gat, un ocell i una tortuga. Volem saber de quantes maneres diferents podem escriure una llista dels noms de les nostres mascotes. Suposem que: El gat es diu G L'ocell es diu O La tortuga es diu T Per escriue un 1r nom i un 2n nom, ens podem ajudar de la taula: 2n nom G O T 1r nom G - GO GT O OG - OT T TG TO - on hem posat un guió per a les opcions impossibles (no es pot, per exemple, posar GG a la llista).

Per completar la llista amb un 3r nom, fem una altra taula que vosaltres haureu de completar: