Introducció als circuits de corrent altern

Per poder treballar amb senyals de corrent altern sinusoidal, primer hem de poder dir què és una ona periòdica i quins en són els valors característics. També hem de conèixer les regles principals de trigonometria.

Les magnituds que defineixen un senyal sinusoidal són les següents:

• Amplitud: és el valor màxim que pot assolir el senyal.
• Freqüència: és la velocitat de variació del senyal.
• Desfasament: és l’avançament (o retard) que un senyal té envers un altre. Evidentment, només es pot definir respecte a una referència coneguda.

Si observem les ones de la figura, comprovarem que, al llarg del temps, el valor es modifica i que es repeteix la mateixa forma.

Cadascuna d’aquestes repeticions s’anomena cicle. Un aspecte important d’un cicle és la duració en segons, que s’anomena període (T). Així, hi ha ones molt curtes, que duren mil·lèsimes de segon, i d’altres de més llargues, que duren desenes de segons.

Hi ha una altra manera de mesurar aquesta durada en el temps: considerar el nombre de cicles que hi ha per segon, és a dir, la freqüència (f). La unitat de mesura de la freqüència és l’hertz (Hz), que indica la quantitat de cicles que es produeixen en un segon.

Tal com es desprèn dels conceptes que hem vist fins ara, com més curt és el període, més gran és el nombre de cops que es produeix en un segon, és a dir, més gran és també la freqüència:

Tal com es mostra en la taula, la freqüència i el període són magnituds inversament proporcionals.

Si ens fixem en el triangle rectangle de la figura, veurem que els quocients entre els costats del triangle defineixen les raons trigonomètriques del sinus, el cosinus i la tangent (vegeu la taula).

Taula Raons trigonomètriques a partir dels quocients entre els costats d’un triangle

Raó trigonomètrica	Símbol	Relació
Sinus d’alfa
Cosinus d’alfa
Tangent d’alfa

La taula recull els diversos valors de les funcions trigonomètriques d’alguns dels angles d’una circumferència.

Quan una ona de tensió sinusoidal es posa en un circuit lineal (com una estufa o una bombeta), hi passa un corrent també sinusoidal de la mateixa freqüència, però desplaçada un angle α respecte de la tensió (es diu desfasada un angle α).

Com que la freqüència de totes les magnituds elèctriques és la mateixa que la del generador, es pot treure del càlcul i només cal concentrar-se en la magnitud de l’ona i en l’angle de desfasament. És a dir, cal considerar l’ona associada a una magnitud i a un angle.

Una magnitud i un angle constitueixen un vector. Per això, una ona de tensió o corrent sinusoidal es pot simbolitzar, si es vol, per mitjà del vector que hi correspon. Aquesta substitució comporta certs avantatges en el càlcul. Cal dir que el càlcul amb vectors, però, és més senzill que el càlcul amb funcions trigonomètriques.

De totes les ones periòdiques, les més importants són les ones sinusoidals. Tenen unes propietats que les fan molt útils i fàcils de fer servir.

Les propietats més destacables de les ones sinusoidals són les següents:

• El caràcter perfectament definit de la funció sinusoidal.
• El fet que la major part d’operacions matemàtiques amb funcions sinusoidals donen com a resultat funcions sinusoidals.
• El fet que qualsevol altre tipus d’ones es poden descompondre en sumes de funcions sinusoidals.
• Les ones sinusoidals es poden generar amb facilitat i transformar per adaptar-les al consum.
• Les ones sinusoidals permeten transportar grans quantitats d’energia de manera molt eficient i a grans distàncies.

En la figura podem veure com es genera una ona sinusoidal. En cada instant, el valor de la funció equival al valor de la projecció del vector R sobre l’eix Y.

L’expressió matemàtica d’una ona sinusoidal és la següent:

Aquí, v és el valor de la funció en l’instant actual i V_màx és el valor màxim de la funció. ω és la pulsació o velocitat angular del radi r expressada en radians per segon, és a dir, l’angle recorregut per unitat de temps.

Si quan es dóna una volta sencera (2·π rad) es tarda un temps T (període), la velocitat angular serà la següent:

Aquí, T és el període de temps expressat en segons.

Com es pot veure, el producte dóna un angle expressat en radians. La correspondència entre graus i radians és la següent:

Atès que el valor de la tensió varia constantment, hi ha prop de sis valors d’una ona sinusoidal característics d’aquesta tensió (vegeu la figura).

Com a exemple de cada apartat, es farà servir la funció de tensió següent:

Aquí, v és el valor instantani, és a dir, el valor de la tensió en cada instant de temps. Per exemple, per a t = 4 ms = 4 · 10⁻³ s, la tensió té el valor següent:

• V_màx és el valor màxim, és a dir, el valor més gran de tots els instantanis, que indica la cresta de l’ona. En el nostre cas, V_màx = 400 V.
• V_ef o V_eff és el valor eficaç, és a dir, el valor de corrent continu que produeix el mateix efecte Joule (escalfament) que el corrent altern considerat. Normalment una ona es dóna amb el seu valor eficaç. En el cas d’ones sinusoidals, es dóna la relació següent:
  
  En el nostre exemple,
  
• V_mitjà és el valor mitjà. En un cicle sencer d’una funció sinusoidal, com que la meitat dels valors són positius i l’altra meitat són negatius, el valor mitjà és 0.
• f és la freqüència, és a dir, el nombre de vegades que es repeteix un cicle en un segon. Per exemple, com que se sap que
  
  es té que
  
• T és el període, és a dir, el temps que dura un cicle i coincideix amb la inversa de la freqüència. En el nostre exemple,
  

Els vectors es fan servir en electricitat per substituir funcions trigonomètriques d’ones sinusoidals i simplificar-ne el càlcul. Per exemple, es pot substituir la suma de dues funcions sinusoidals (que és una operació relativament difícil) per la suma de dos vectors (operació molt senzilla). Per això és important familiaritzar-se amb el concepte de vector i amb algunes de les operacions més comunes entre vectors. Tot seguit es repassaran els conceptes més elementals del càlcul de vectors.

Imaginem un pla i un origen de coordenades X-Y. Per indicar la posició de qualsevol punt del pla respecte de l’origen es fan servir vectors. Aquesta posició (i el vector corresponent) es pot indicar de dues maneres diferents (vegeu la figura):

• Mitjançant coordenades polars: es dóna la distància en línia recta respecte de l’origen (mòdul r) i l’angle que forma amb l’eix X (angle α).
• Mitjançant coordenades rectangulars: es dóna la distància X i la distància Y que s’ha de recórrer per arribar al punt corresponent.

En el cas de la figura, el mòdul és la longitud de r i l’argument, l’angle α.

En coordenades polars, un vector queda definit amb el mòdul (r) i l’argument o angle (α). En coordenades rectangulars, un vector queda definit per les longituds de les seves projeccions a i b sobre els eixos coordinats X-Y. Així a és la projecció de r en la direcció de l’eix X i b és la projecció de r en la direcció de l’eix Y.

Les coordenades rectangulars es donen amb un parell de números. Per distingir la coordenada en l’eix Y s’hi afegeix el sufix j. Així, per exemple, el vector a = (3 + 4j) vol dir que X = 3 i Y = 4. És a dir: X_a = 3 i Y_a = 4.

Per a les coordenades polars es fa servir, en canvi, la forma següent:

Per exemple, el vector representa un vector que té un mòdul de 50 i un argument de 20°.

Atès que hi ha dues maneres de donar la mateixa informació (coordenades rectangulars i coordenades polars), hi ha d’haver una relació entre elles. Es pot passar d’un sistema a l’altre. Observeu les fórmules que es fan servir per efectuar aquest pas.

Per passar d’un sistema de coordenades rectangulars (a + bj) a un de coordenades polars (), es pot fer el següent:

Per passar d’un sistema de coordenades polars () a un sistema coordenades rectangulars (a + bj), es pot fer el següent:

Amb els vectors es poden fer tot tipus d’operacions, com amb els números. Les més importants són la suma i la resta, la multiplicació i la divisió.

La suma i la resta de vectors. Per sumar (o restar) dos vectors A i B, cal posar les seves coordenades en forma rectangular i sumar (o restar) les seves components x i y (vegeu la figura). Les components del vector suma S són les següents:

El producte de vectors. Per multiplicar dos vectors A i B, cal posar-los en forma de coordenades polars, multiplicar els mòduls i sumar els arguments. Les components del vector producte P (vegeu la figura) són les següents:

La divisió de vectors. Per dividir dos vectors A i B, cal posar-los en forma polar, dividir els mòduls i restar els arguments (vegeu la figura). Les components del vector divisió D són les següents:

En corrent altern, els receptors elèctrics connectats a una instal·lació elèctrica qualsevol es caracteritzen per la seva impedància. Aquesta impedància variarà en funció de la seva naturalesa (resistiva, capacitiva o inductiva) i de la freqüència de treball de la instal·lació.

Entre els receptors de corrent elèctric que es poden construir es produeixen diversos efectes que es poden modelitzar amb tres components clarament diferenciats. Són els efectes a causa de resistències, bobines i condensadors. En la taula es recull el comportament de cada receptor.

En general, es diu que la llei d’Ohm es continua complint, però ara la impedància que ofereixen bobines i condensadors depèn de la freqüència del corrent. A més, aquestes components introdueixen desfasaments entre la tensió aplicada i el corrent que hi circula. Tot això ho veurem quan estudiem cada component per separat i serà la base per entendre, més endavant, els circuits en què tindrem més d’una component connectada a una font de tensió.

Per analitzar els circuit de corrent altern primer hem de conèixer el concepte d’impedància.

La impedància és la relació que hi ha entre el fasor de tensió i el fasor de corrent. Aquesta relació és el que coneguem com llei d’Ohm en corrent altern.

En un circuit de corrent altern, la impedància pot ser causada per una resistència, una bobina, un condensador o la combinació d’alguna d’elles. Es mesura en Ohms (Ω).

La impedància sempre serà un nombre complex que podrem representar de dues maneres: amb forma polar () o amb forma rectangular (R + Xj). En la representació de la impedància amb forma rectangular la R representa la resistència i la part imaginària X representa la reactància.

La part resistiva (R) sempre serà positiva i independent de la freqüència de treball. La part imaginària podrà ser positiva o negativa, en funció de si la reactància la produeix una bobina o un condensador, i dependrà de la freqüència de treball. Es calcularà com: X = X_L - X_C

Quan el circuit només té resistència es diu que és un circuit resistiu òhmic pur (vegeu la figura). Si aquesta resistència es connecta a una font de tensió de corrent altern, s’estableix una intensitat també alterna, de la mateixa freqüència i en fase amb la tensió.

Una tensió alterna sinusoidal de freqüència f aplicada sobre una resistència pura fa passar una intensitat de valor

en fase amb la tensió, i consumeix una potència donada per

o bé

Aquí, V i I són els valors eficaços de tensió i intensitat.

En la figura es mostra el diagrama vectorial que representa la tensió, la resistència i la intensitat del circuit òhmic pur de l’exemple.

La impedància que presenta una bobina en corrent altern s’anomena reactància inductiva (X_L). Aquesta reactància inductiva depèn de la freqüència de la tensió aplicada i del coeficient d’autoinducció.

Com es pot veure al circuit de la figura una bobina produeix un desfasament de 90° entre la tensió aplicada i el corrent absorbit.

En la figura es mostren els valor de la reactància inductiva, la tensió i el corrent elèctric en un circuit inductiu pur en forma vectorial.

Una bobina produeix un endarreriment de 90° del corrent respecte de la tensió. Això vol dir que la reactància inductiva és un vector que està avançat 90° respecte de l’eix X (és a dir, és sobre la part positiva de l’eix Y).

Tal com es mostra en la figura, el valor mitjà de la potència que absorbeix una bobina de la xarxa és 0. Aquest resultat es pot obtenir igualment emprant la fórmula donada per trobar les potències.

Observeu que la potència és positiva quan V i I són positives o negatives al mateix temps. En canvi, el signe de la potència es torna negatiu quan la tensió i la intensitat tenen signes diferents (l’una és positiva i l’altra negativa).

Tot i que la bobina no consumeix energia real per al seu funcionament, les seves constants càrregues i descàrregues fan que circuli un determinat corrent pels conductors i, per tant, també apareix una potència que fluctua per aquests, que anomenarem potència reactiva Q_L.

Observem com, en posar la X_L a 90°, el corrent queda a −90°, és a dir, endarrerit 90° respecte de la tensió, que estava a 0° (vegeu la figura).

En la figura es mostra la tensió aplicada a la bobina i la intensitat que hi passa (endarrerida 90º respecte de la tensió).

La impedància que presenta una condensador en corrent altern s’anomena reactància capacitiva (X_C). Aquesta reactància capacitiva depèn de la freqüència de la tensió aplicada i del valor del condensador.

El valor d’un condensador s’expressa en farads (F), però atès que és una unitat molt gran, se’n fan servir els submúltiples (vegeu la taula).

Com es pot veure al circuit de la figura un condensador produeix un desfasament de 90° entre la tensió aplicada i el corrent absorbit. La intensitat està avançada 90°.

En la figura es mostren els mateixos valors però de forma vectorial. Si es posa la tensió a 0°, la X_C està a −90° i la intensitat avança 90° respecte de la tensió.

En un condensador tampoc es produeix cap consum d’energia calorífica. Aquí també apareix una potència reactiva Q_C produïda per l’energia que s’intercanvia entre el condensador i el generador.

Aquesta potència reactiva en el condensador es calcularà com:

En conclusió, es pot dir que la potència reactiva del condensador és negativa respecte a la de la bobina i que, per tant, els seus efectes es compensen.

Exemple: calcular el corrent i la potència reactiva d'un condensador de 100 μF

Tenim un condensador de 100 μF que està connectat a una font de tensió de 100 V i 50 Hz. Calculeu el corrent i la potència reactiva.

Solució:

Primer s’ha de calcular la reactància capacitiva en la freqüència donada:

Com la impedància capacitava està endarrerida 90°, la posarem en forma de vector (vegeu la figura). Ara es pot calcular el corrent (suposarem que la tensió està a 0°). Observem com, en posar la X_C a −90°, el corrent ens queda a +90°, és a dir, avançat 90° respecte de la tensió que estava a 0°. En la figura es poden veure els vectors de l’exemple resolt.