| | |
| |
Una de les jugades més espectaculars del futbol
americà és aquella en la que es llença un xut bombejat que
ha de passar per sobre del pal de la porteria.
La trajectòria que descriu
la pilota és una paràbola.
Ara estudiarem a quin tipus de funció correspon aquesta corba. | |
| |
| | |
| | |
| |
L'àrea d'un quadrat |
| |
|
| |
Com depèn l'àrea d'un quadrat de la longitud del costat del quadrat?
La resposta és molt senzilla: si la longitud del costat és x, l'àrea és x2.
Per tant, podem escriure que si y és l'àrea del quadrat, la dependència ve dona per la funció:
y = x2
És
molt fàcil fer una taula de valors per a aquesta funció i dibuixar la
gràfica. Per exemple, donem a la x aquests valors i calculem y:
Longitud del costat
x
|
Àrea
y
|
0 |
0 |
0,6 |
0,36 |
1 |
1 |
1,4 |
1,96 |
2 |
4 |
2,6 |
6,76 |
3 |
9 |
|
|
En aquest exemple la variable independent x representa la longitud del
costat i no pot prendre valors negatius, per tant la gràfica queda
restringida al primer quadrant.
Observa que l'increment de l'àrea veuràs que no és constant per a
increments constants de la longitud del costat, com en una relació de
proporcionalitat directa o afí, sinó que cada cop creix més.
Per exemple, si la longitud del costat passa de 0 a 1, després a 2 i
després a 3, l'àrea passa de 0 a 1, després a 4 i després a 9:
x: 0 → 1 → 2 → 3
y: 0 → 1 → 4 → 9
|
| |
|
| |
La
gravetat terrestre |
| | |
| | La
gravetat terrestre afecta a tots els cossos de la mateixa manera, és a
dir, tots caurien al mateix temps. La resistència de l'aire fa, però,
que no sigui així i una ploma no cau igual que ho fa un llibre, per exemple.
Així i tot no tindrem en compte la resistència de l'aire. Aleshores,
en un segon un cos cau 5 m, en dos segons cau 20 m, en tres segons 45
m, i així successivament (agafem 10 m/s² com a acceleració de la
gravetat, aleshores 5 és la meitat d'aquesta acceleració; una millor
aproximació seria agafar 9,8 m/s², i la seva meitat seria 4,9).
En la següent taula de valors es recullen els espais recorreguts en diferents
temps. En aquest cas, l'espai i el temps no són magnituds proporcionals
i si es representen aquests valors en uns eixos de coordenades resulten punts
no alineats que formen una gràfica que s'anomena paràbola
i que mostra la relació entre l'espai i el temps.
gravetat terrestre: 10 m/s2
| |
Temps | | Espai |
|
|
|
1 s | | 5
· 12 = 5 m | 2
s | | 5
· 22 = 20 m | 3
s | | 5
· 32 = 45 m | 4
s | | 5
·42 = 80 m | 5
s | | 5
· 52 = 125 m | |
L'espai és igual a cinc vegades el quadrat
del temps: Espai = 5 · temps2 |
Si x representa el
temps, la fórmula de la funció corresponent és: f(x)
= 5 · x2 |
En aquest exemple la
variable independent x representa el temps i no pot prendre valors negatius, per
tant la gràfica també queda restringida al primer quadrant.
Si mires l'increment
de l'espai veuràs que tampoc és constant, també cada cop creix més. Els increments en aquest cas
són 15, 25, 35, 45, ... és a dir que la funció creix molt
més ràpidament. |
| | |
 |
Exercici 2.4.1
Copia les taules de valors i les gràfiques d'aquestes funcions al dossier de la pràctica. |
| |
|
| | |
| |
La
funció quadràtica |
| |
|
| | Als dos exemples anteriors apareix una funció del tipus y = a·x2 (en cas del l'àrea del quadrat
a = 1, i en el cas de la gravetat a = 5). La funció y = a·x2 correspon a la funció quadràtica o de segon grau més senzilla, i la seva gràfica és d'un tipus de corbes anomenat paràbola.
|
 |
Fes
servir GeoGebra per fer les gràfiques de les funcions:
f(x) = 2x² |
g(x) = -x² |
h(x) = ¼x² |
p(x) = -½x² |
q(x) = ⅛x² |
Fes-ho per a cadascuna de les cinc funcions i observa les gràfiques obtingudes.
Las característiques que has d'haver observat a les gràfiques anteriors són:
- Tenen un punt mínim o màxim anomenat vèrtex en el punt (0,0), l'origen de coordenades, que es considera un punt singular.
- Són simètriques respecte de l'eix d'ordenades.
|
| | |
|
Formes
de les paràboles | |
| | |
| |
| |
En les representacions gràfiques anteriors
has vist que les paràboles tenen totes formes similars, amb les branques
cap amunt o cap avall, i són més o menys tancades. Clicant sobre l'enllaç GeoGebra veurem
què passa quan es canvia el coeficient a que multiplica
a x2.
El que hauríeu d'haver observat és que, si l'equació de la paràbola és de la forma y = ax2,
en variar el valor del paràmetre a
canvia la forma de la paràbola:
- Si a>0
les branques van dirigides cap amunt i s'anomena paràbola
còncava
- Si a<0
les branques van dirigides cap avall i s'anomena paràbola
convexa
- A mesura que el valor absolut de a
augmenta la paràbola es tanca i a mesura que aquest valor disminueix la
paràbola s'obre.
| | |
 |
Exercici 2.4.2
En
el teu dossier escriu les taules de valors corresponents a les funcions f(x) =
2x2 i g(x) = - x 2. Dibuixa en un mateix gràfic
les paràboles corresponents a les dues funcions. Per dibuixar aquestes
funcions agafa valors enters des de -3 fins a 3. |
| |
|
| | |
| | Translacions
de la paràbola |
| | |
| |
Translació vertical de la paràbola
La taula de valors de la funció y = x2 + 1 s'obté sumant una unitat a cada valor obtingut a la taula de la funció y = x2. Amb la funció y = 2x2 - 2 caldria restar dos unitats a cada valor obtingut a la taula de la funció y = 2x2. |
|
Aquest terme que s'afegeix a la funció y = ax2 s'anomena terme independent. Fixa't el que implica en la representació gràfica clicant sobre l'enllaç GeoGebra que hi ha a l'esquerra per practicar amb desplaçaments verticals d'una paràbola.
El que haurieu d'haver observat és que:
- El gràfic de la funció es desplaça verticalment q unitats, cap amunt o cap avall.
- El vèrtex passa a la posició (0,q) on q és el terme independent.
- L'eix de simetria segueix sent la l'eix Y (recta x = 0).
- La funció té com a expressió y = a x2 + q
|
| |
|
| |
Translació horitzontal de la paràbola
La taula de valors de la funció y = (x - 2)2 la podem obtenir calculant primer el valor de x - 2 i després el seu quadrat. |
|
Fixa't el que implica en la representació gràfica clicat sobre l'enllaç GeoGebra que tens a l'esquerra.
El que hauríeu d'haver observat és que:
- La paràbola es desplaça horitzontalment p unitats cap a la dreta o cap a l'esquerra respecte de y = a x2
- El vèrtex és el punt (p,0)
- L'eix de simetria és la recta vertical que passa per x=p (recta x = p)
- La funció té com a expressió y = a (x - p)2
|
| |
|
| |
Translació vertical i horitzontal de la paràbola |
|
Clicant sobre l'enllaç GeoGebra de l'esquerra treballaràs sense limitacions: el vèrtex de la paràbola el podràs posar en
qualsevol punt del pla.
El que hauríeu d'haver observat en el cas general d'una translació verical i horitzontal és:
- El
vèrtex és el punt (p,q)
- L'eix de simetria segueix sent
la recta x = p.
- La funció té com a expressió y =
a (x - p)2 + q
|
| |
|
 |
Exercici 2.4.3
Associa les gràfiques de paràboles que hi ha al teu dossier amb la corresponent equació. |
| |
|
|
