Simetria axial		Simetria central		No hi ha simetria
Simetria respecte l'eix d'ordenades		Simetria respecte l'origen de coordenades		No hi ha simetria

Seguidament estudiarem la simetria respecte l'eix d'ordenades i la simetria respecte l'origen de coordenades.

Considerem la funció que a cada nombre li fa correspondre el seu quadrat. Aquesta funció la podem expressar amb la fórmula y = x² . Construïm la taula i representem gràficament la funció:

x   y -3   9 -2   4 -1   1 0   0 1   1 2   4 3   9

Observa, a la taula, que la imatge del -3 i la del 3 és la mateixa i també la del -2 i la del 2. En realitat qualsevol nombre a i el seu oposat -a tindran la mateixa imatge perquè el quadrat d'un nombre i el del seu oposat són iguals. Com es reflecteix aquest fet a la gràfica? Doncs que els punts (-3,9) i (3,9) estan situats simètricament respecte l'eix d'ordenades. El mateix passa amb la resta de punts de la gràfica.

Ara et toca a tu. Anem a veure si ho has entès. Observa les gràfiques següents i digues si hi ha simetria respecte l'eix d'ordenades.

Sí No		Sí No		Sí No
Sí No		Sí No		Sí No

Considerem la funció que a cada nombre li fa correspondre el seu doble. Aquesta funció la podem expressar amb la fórmula y = 2x . Construïm la taula i representem gràficament la funció:

x   y -3   -6 -2   -4 -1   -2 0   0 1   2 2   4 3   6

Observa, a la taula, que la imatge del -3 i la del 3 són oposades i també la del -2 i la del 2 són oposades. En realitat qualsevol nombre a i el seu oposat -a tenen imatges oposades perquè el doble d'un nombre i el del seu oposat són oposats. Com es reflecteix aquest fet a la gràfica? Doncs que els punts (-3,-6) i (3,6) estan situats simètricament respecte l'origen de coordenades. El mateix passa amb la resta de punts de la gràfica.

Ara et toca a tu. Anem a veure si ho has entès. Observa les gràfiques següents i digues si hi ha simetria respecte l'origen de coordenades.

Sí No		Sí No		Sí No
Sí No		Sí No		Sí No

La naturalesa és plena de fenòmens que es repeteixen a intervals regulars: les marees i els batecs del cor en són un bon exemple. I n'hi ha molts més: les fases de la lluna, les hores de sol diàries segons l'època de l'any, les vibracions del so, les oscil·lacions del pèndol d'un rellotge, etc.

Al Golden Gate (famós pont de Sant Francisco, EEUU) s'enregistren els nivells de l'aigua i la força del vent al llarg del dia. Aquestes dades són molt importants per al trànsit marítim i terrestre. La gràfica de sota ens dóna el nivell de l'aigua a cada instant. Podem observar com varia el nivell de l'aigua al llarg de les hores i com la forma de la gràfica (la part de color vermell) es va repetint dia a dia.

El mateix fenomen passa si observem la força del vent al llarg de les hores. Pots consultar les dades actuals i en temps real en aquesta web.

Si observes atentament veuràs que en ambdós casos el període és de poc més de 24 hores (24 hores i 40 minuts aproximadament). Això ens permet preveure el nivell de l'aigua a una hora determinada de demà o de la setmana vinent.

Els electrocardiogrames ens mostren gràficament el ritme cardíac. Observa la regularitat.

Les arítmies són una alteració del ritme cardíac. Observa com la regularitat es veu estroncada. La funció deixa de ser periòdica.

Exercici 1.5.3
Copia totes les respostes correctes obtingudes al teu dossier i dibuixa-hi la gràfica corresponent.

Si ens donen la gràfica d'una funció, com s'esbrina si és periòdica o no?
I si és periòdica, com es calcula el període a partir de la gràfica?

Serà periòdica si hi ha un tros o fragment de gràfica que es repeteix infinitament. Per exemple, la funció que té la gràfica següent:

Figura 1

és periòdica perquè el tros de gràfica que va del punt P al punt Q coincideix amb el tros que va de Q a R, i coincideix amb el tros que va de R a S ... És a dir, aquest fragment PQ es repeteix infinitament (a la gràfica no es veu aquesta repetició infinita, però suposem que es verifica).

En canvi la funció que té la gràfica següent:

Figura 2

no és periòdica perquè no hi ha cap tros de gràfica que es repeteixi.

Com es calcularia el període de la funció de la Figura 1? Molt senzill: és la distància que hi ha entre P i Q (o entre Q i R, o entre R i S, ...), a la gràfica és veu que aquesta distància és 2, per tant, el període és 2.

Es pot agafar qualsevol punt de referència per veure si una funció és periòdica i calcular el període. Per exemple, a la mateixa funció de la Figura 1 ens podem fixar amb els punts A, B, C, D, ... i veure que el tros de gràfica que va del punt A al punt B coincideix amb el tros que va de B a C, i coincideix amb el tros que va de C a D ... I el període és la distància entre A i B que també és 2. Ho podeu veure a la figura següent:

Figura 3