Com has vist la relació entre dues variables pot venir donada per una taula, un enunciat o una fórmula. Aquesta informació és molt més comprensible si es representa en forma gràfica. En les activitats següents veuràs com es construeix la gràfica d'una funció.

Per dibuixar punts representatius d’una funció cal trobar el valor de y que correspon a cada valor de x. És evident que no els podem trobar tots i per tant el més convenient és agafar, per començar, només uns quants valors enters de x.

En el exemple del càlcul del quadrat d'un nombre, el més pràctic és fer una taula de valors com la següent:

Fixa't com alguns valors de y es repeteixen donat que un nombre i el seu oposat tenen els mateixos quadrats.

És fàcil obtenir f(0), o sigui, la imatge de zero. El punt en el qual x=0 ens dóna el punt de tall de la funció amb l'eix d'ordenades. La imatge de zero s'anomena ordenada en l'origen. En aquest cas l'ordenada en l'origen és 0 ja que f(0)=0 i el punt de tall de la funció amb l'eix d'ordenades és el punt (0,0).

Observa que en el punt de tall de la funció amb l'eix d'ordenades el valor de l'abscissa és 0, o sigui x=0, i el valor de l'ordenada és f(0), o sigui, el valor de y que s'obté al substituir el valor de x per 0 en la funció.

Totes les construccions geomètriques on ha aparegut la icona que teniu a l'esquerra han estat fetes amb GeoGebra. GeoGebra és un programa informàtic que permet fer, entre altres coses, gràfics de funcions.

El podeu obtenir de forma gratuïta al web oficial de GeoGebra, a http://www.geogebra.org, i instal·lar-lo al vostre ordinador, o bé usar la còpia de GeoGebra que tenim instal·lada en aquest mòdul clicant sobre la icona de l'esquerra.

Executeu-lo i us proposem que dibuixeu tres funcions donades per fórmules: f(x) = 2x + 1, g(x) = x² i h(x) = ¼ x.

• Per dibuixar la 1a funció, escriviu f(x)=2x+1 a la finestreta Entrada que teniu a la part inferior del GeoGebra
                                               
  i feu Enter. Us ha de sortir la gràfica dibuixada. Observeu que l'ordenada en l'origen d'aquesta funció és 1 ja que f(0) = 1 i, per tant, el punt de tall de la funció amb l'eix d'ordenades és (0,1).
• Per dibuixar la 2a funció, escriviu g(x)=x² a la finestreta Entrada. Per escriure l'exponent 2 de x² situeu el cursor al costat dret de la x i seleccioneu 2 al primer menú desplegable de la dreta
  
             
  Si feu Enter on cop escrit g(x)=x², us ha de sortir la gràfica de g(x) superposada a la de f(x).
• Finalment, per dibuixar la 3a funció escriviu h(x)=1/4x² a la finestreta Entrada i feu Enter. Us han d'aparèixer les tres gràfiques, quelcom semblant a
  
                                

Podeu inventar-vos altres funcions i dibuixar-les, per exemple, dibuixeu m(x) = x³ - x² - x + 1.

Tornant a l'exemple de l'oferta de trucades amb telèfon mòbil, ara utilitzaràs la tarifa de trucades en horari normal. Com has fet en les unitats anteriors el que cal fer es posar les dades en forma de taula amb dues columnes, la primera amb el temps i la segona amb el preu. Cal que no oblidis el que diu la lletra petita!

Exercici 1.4.2
Copia en el teu dossier la taula de valors amb el preu de les trucades en horari normal que has completat i comprovat.
Escriu la fórmula per obtenir el preu de la trucada a partir de la seva durada i dibuixa la gràfica d'aquesta funció (pots ajudar-te amb el GeoGebra)

A partir de la funció donada per la fórmula:

y = 2 x + 1

Per trobar la imatge d'un valor de la variable independent x el càlcul consisteix en multiplicar el valor per 2 i sumar-li 1. Ara interessa saber per a quin valor de la variable x s'obté el valor y = 3, és a dir quina és l'antiimatge de 3?

Per trobar una antiimatge cal resoldre una equació. En l'exemple, hem de resoldre:

2 x + 1 = 3

I la resolució d'aquesta equació és:

passem l' 1 restant al 2n membre:           2x = 3 - 1

fem la resta del 2n membre:                      2x = 2

aïllem la x dividint el 2n membre per 2:      x = ²/₂ = 1

El resultat és que l'antiimatge de 3 per la funció y = 2 x + 1 és 1.

Les antiimatges de zero són els valors d'x que fan que y sigui 0, ens donen els punts de tall de la funció amb l'eix d'abscisses i s'anomenen zeros de la funció. En l'exemple, hem de resoldre:

2 x + 1 = 0

passem l' 1 restant al 2n membre:           2x = - 1

aïllem la x dividint el 2n membre per 2:      x = ^-1/₂ = - 0,5

El resultat és que l'antiimatge de 0 per la funció y = 2 x + 1 és -0,5. Per tant el punt de tall de la funció amb l'eix d'abscisses és el punt (-0,5 , 0) .

Per la funció y = x², quina és l'antiimatge de 9? Si mirem la taula de valors de la funció o bé resolem l'equació x² = 9, resulten dues antiimatges que són 3 i -3. Observeu que l'antiimatge de 0 és 0 (l'equació x² = 0 té solució 0) i, per tant, el punt de tall de la funció amb l'eix d'abscisses és (0,0). Fixa't que el punt (0,0) també és el punt de tall de la funció amb l'eix d'ordenades

Observa que els punts de tall de la funció amb l'eix d'abscisses s'obtenen de la solució de l'equació f(x)=0. Si aquesta equació té solucions x₁, x₂,..., els punts de tall de la funció amb l'eix d'abscisses són els punts ( x₁,0) , (x₂,0) ,...

Observa en la gràfica adjunta els punts de talls de la funció amb l'eix d'abscisses: punt A de coordenades (-3,0), punt B de coordenades (-1,0) i punt C de coordenades (2,0). El punt D de coordenades (0,-1) és el punt de tall de la funció amb l'eix d'ordenades.

Clica les tres icones de sota i podràs veure de forma gràfica com es troben antiimatges de diferents valors i per diferents funcions (tanqueu cada finestra abans d'obrir-ne una altra, si no, es dimensionen malament):

En construir la gràfica de la funció has vist que és més precisa com més punts dibuixis i també com és possible calcular la imatge de qualsevol valor de x.
Recorda també que per a cada valor de la variable independent x hi ha una sola imatge, és a dir un valor de la variable dependent y.

Hi ha gràfiques que representen relacions entre variables que no corresponen a funcions, perquè algun valor de x té més d'una imatge.

Esbrina quines de les següents gràfiques corresponen a funcions i quines no: