Annexos

Contrast d'hipòtesis - Cas pràctic 1

Una associació de consumidors acusa una empresa cervesera que les seves ampolles de 33 cl contenen menys d’aquesta quantitat. Sabem que la desviació típica poblacional del contingut d’aquestes ampolles és de 2,5 cl. Per demostrar-ho compren 200 ampolles (en diferents establiments) i mesuren la quantitat de cervesa, obtenint per aquests mesuraments una mitjana de 32,6 cl. És suficient aquesta diferència entre els valors de la nostra mostra i els especificats per l’empresa per afirmar que estan posant menys de 33 cl a les ampolles?, o aquesta diferència és deguda a l’atzar i amb una altra mostra diferent obtindríem un valor per a la mitjana de quantitat de cervesa més proper al que s’indica en l’ampolla?

En aquest cas es vol prendre la decisió de considerar si l’empresa menteix o no.


1) Cas bilateral:

En aquest cas les hipòtesis serien:

  • H0: μ = 33 cl
  • H1: μ ≠ 33 cl

Per poder dir que la mitjana és diferent de 33 cl, l’estadístic de contrast haurà d’estar allunyat de 0, en col·locar-lo a la distribució que li correspon (recordem que l’estadístic de contrast en aquest cas segueix una llei Normal (0,1)).

Una manera de decidir-ho consisteix a veure si l’estadístic de contrast està molt allunyat de 0, que és el valor crític determinat pel valor de α.

Aquest valor crític serà aquell valor tal que la probabilitat d’obtenir aquest valor o un valor més extrem equival a . En el nostre cas, en tenir una H1 bilateral, repartirem la zona de rebuig entre les dues coles de la distribució.

Denominem Z* el valor crític i suposem α = 0,05, la qual cosa implica que Z* serà un valor de la distribució Normal (0,1) que complirà:

i

Buscant en les taules de la N(0,1), veiem que el valor que compleix aquest requisit és l’1,96, (i ho escrivim: = 1,96). La zona de rebuig de la H0 estarà definida per aquells valors de l’estadístic de contrast que siguin més extrems (més allunyats del zero) que el 1,96 o que el -1,96.

Sempre que parlem de rebuig o d’acceptació en un contrast d’hipòtesis, fem referència a H0.

En el gràfic de la figura podem veure en gris la zona de rebuig i en blanc la zona d’acceptació.

Figura Àrees d’acceptació i rebuig d’un contrast d’hipòtesis

Ara calcularem el valor de l’estadístic de contrast del nostre problema:

Com - 2,26 < - 1,96, rebutgem la hipòtesi nul·la i, per tant, considerarem que la mitjana de la quantitat de cervesa en les ampolles és distinta a 33 cl.

Encara que veiem clarament que el valor és menor, diem que és diferent, ja que aquest contrast és bilateral. Hem de recordar que la H1 representa l’afirmació que prenem per bona quan rebutgem la H0; i que les dues hipòtesis es defineixen en el primer pas del contrast.

Un manera equivalent de resoldre el contrast consisteix a veure el p-valor de l’estadístic de contrast.

El p-valor associat a una observació de l’estadístic de contrast és el nivell de significació més petit que ens permet rebutjar la hipòtesi nul·la.

El p-valor és la probabilitat d’obtenir el valor de l’estadístic de contrast o d’un de més allunyat sota la hipòtesi nul·la.

Per a un p-valor petit, tindrem una probabilitat petita d’obtenir aquest valor sota la H0 i, per tant, rebutjarem la hipòtesi nul·la.

Per a un p-valor gran, tindrem una probabilitat alta d’obtenir aquest valor sota la hipòtesi nul·la i, per tant, acceptarem H0.

En el nostre exemple, buscarem en les taules de la Normal(0,1), la cua que deixa el nostre estadístic de contrast (-2,26), i obtenim:

En el gràfic de la figura podem veure en gris la zona de rebuig i en blanc la zona d’acceptació.

Figura Àrees d’acceptació i rebuig de l’exemple

El fet que 0,012 < 0,025 ens indica que el nostre estadístic de contrast cau en una zona de rebuig. Ambdós camins són equivalents i donen el mateix resultat.


2) Cas unilateral:

En aquest cas les hipòtesis serien:

  • H0: μ = 33
  • H1: μ > 33

Suposem que en aquest cas l’empresa pretén defensar-se de les acusacions de l’associació de consumidors i pren la seva pròpia mostra de 200 ampolles, i obté una mitjana de 33,2 cl.

El nostre estadístic de contrast prendrà el valor:

En aquest cas, col·locarem la zona de rebuig a la dreta, atès que volem veure si la quantitat mitjana de cervesa és significativament més gran que la indicada a l’ampolla.

Igual que en el cas bilateral, buscarem el valor de la llei N(0,1) que serveix de valor crític. En aquest cas buscarem el valor tal que la probabilitat d’obtenir aquest valor o un més gran sigui = 0,05. Aquest valor és 1,645, amb el qual es compleix:

En el gràfic de la figura podem veure en gris la zona de rebuig i en blanc la zona d’acceptació.

Figura Àrees d’acceptació i rebuig de l’exemple

Veiem que el valor del nostre estadístic de contrast és menor que el valor crític (1,176 < 1,645),per la qual cosa no podem rebutjar la hipòtesi nul·la.

Tornem a resoldre aquest contrast, ara utilitzant el p-valor. Busquem aquest p-valor per al nostre estadístic de contrast:

Com que 0,12 > 0,05, tornem a decidir que no podem rebutjar la H0.

En el gràfic de la figura podem veure en gris la zona de rebuig i en blanc la zona d’acceptació.

Figura Àrees d’acceptació i rebuig de l’exemple

Per a l’altre contrast unilateral, tornem a fer servir els valors de l’associació de consumidors. El càlcul de l’estadístic de contrast no varia, amb la qual cosa tornem a tenir el valor de 2,26. D’altra banda, en estar treballant amb una distribució simètrica, podem prendre directament com a valor crític el negatiu del valor crític del contrast unilateral anterior.

El canvi respecte al contrast bilateral és que ara el que volem veure és que la quantitat de cervesa és menor que la indicada, mentre que en el cas bilateral volíem comprovar si era diferent. Per això, ara la zona de rebuig estarà en la cua de l’esquerra de la distribució, tal com mostra el gràfic de la figura.

Figura Àrees d’acceptació i rebuig de l’exemple

Com -2,26 està més allunyat de zero que -1,645, rebutjarem la H0, amb la qual cosa assumirem que la quantitat mitjana de cervesa en les ampolles és inferior al que especifica l’etiqueta.

Farem el mateix contrast utilitzant el p-valor del nostre estadístic de contrast, per a la qual cosa necessitarem saber quina cua deixa a l’esquerra. Aquest càlcul ja l’havíem fet per al cas de contrast bilateral:

Tenim que 0,012 < 0,05, per la qual cosa rebutgem la H0.

En el gràfic de la figura podem veure en gris la zona de rebuig i en blanc la zona d’acceptació.

Figura Àrees d’acceptació i rebuig de l’exemple

Contrast d'hipòtesis - Cas pràctic 2

Una associació de consumidors acusa una empresa cervesera que les seves ampolles de 33 cl contenen menys d’aquesta quantitat. Sabem que la desviació típica poblacional del contingut d’aquestes ampolles és de 2,5 cl. Per demostrar-ho compren 200 ampolles (en diferents establiments), mesuren la quantitat de cervesa i n’obtenen una mitjana de 32,6 cl. Hem utilitzat la llei normal per a l’exemple de la cervesa, atès que coneixem la desviació típica poblacional. En el cas de desconèixerla, hauríem d’haver utilitzat la distribuciót de Student. D’aquesta manera, si no haguéssim conegut el valor de la desviació típica, hauríem d’haver utilitzat la desviació típica de la mostra.

Suposem que el valor d’aquesta desviació típica mostral és 2,65. En aquest cas, en trobar l’estadístic de contrast, hauríem hagut d’utilitzar la fórmula següent (en el cas de les dades de l’associació de consumidors):

La llei amb la qual hauríem de treballar en aquest cas seria la t-Student amb n -1 graus de llibertat, essent n la grandària de la mostra. La resta del procés no es veuria afectat, és a dir, tindríem les mateixes hipòtesis i prendríem la decisió de rebutjar o no rebutjar la H0 de la mateixa manera.

Per al cas de les proporcions, l’estadístic de contrast es calcula amb la fórmula següent:

on:

  • p és la proporció mostral.
  • π és la proporció poblacional (el valor que volem avaluar).
  • n és la grandària de la mostra.

Aquest estadístic segueix una llei Normal(0,1).

Les hipòtesis serien les següents:

  • H0: π = 0,5
  • H1: π ≠ 0,5

Taules estadístiques

Per realitzar el contrast d’hipòtesis mitjançant un estadístic de contrast, tractat en l’apartat “Contrast d’hipòtesis”, necessitem conèixer els nivells de significació que ens proporcionen les diferents distribucions. Les

ens proporcionen aquesta informació.